Tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 6}} {{{\sin 2x} \over {{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx} = {a

Câu hỏi số 241068:

Vận dụng

Tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 6}} {{{\sin 2x} \over {{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx} = {a \over 5} + b\ln {5 \over 4}.\) Giá trị của \(T = a + b\) là:

A. \(T=2\)

B. \(T=1\)

C. \(T=0\)

D. \(T=-5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241068

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\)

Đặt ẩn phụ \(t = \sin x\)

Giải chi tiết

\(I = \int\limits_0^{{\pi \over 6}} {{{\sin 2x} \over {{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx} = 2\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {{{\sin x\cos x} \over {{{\left( {2 + \sin x} \right)}^2}}}dx} \)

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr x = {\pi \over 6} \Rightarrow t = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow I = 2\int\limits_0^{{1 \over 2}} {{{tdt} \over {{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} = 2\int\limits_0^{{1 \over 2}} {{{t + 2 - 2} \over {{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}dt = 2\int\limits_0^{{1 \over 2}} {\left( {{1 \over {t + 2}} - {2 \over {{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}} \right)dt} } \cr & = 2\left. {\left( {\ln \left( {t + 2} \right) + {2 \over {t + 2}}} \right)} \right|_0^{{1 \over 2}} = 2\left( {\ln {5 \over 2} + {4 \over 5} - \ln 2 - 1} \right) = 2\left( {\ln {5 \over 4} - {1 \over 5}} \right) = - {2 \over 5} + 2\ln {5 \over 4} \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = - 2 \hfill \cr b = 2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow T = a + b = 0 \cr} \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.