Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f\left( { - x} \right) + 2f\left( x \right) =

Câu hỏi số 241069:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(f\left( { - x} \right) + 2f\left( x \right) = \cos x\). Tính \(I = \int\limits_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {\cos x.f\left( x \right)dx} \)

A. 1

B. \({\pi \over 2}\)

C. 0

D. \({\pi \over 6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241069

Phương pháp giải

Đổi cận \(t = - x\), biến đổi ta được \( \Rightarrow I = \int\limits_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {\cos xf\left( { - x} \right)dx} \)

Làm xuất hiện tổng \(f\left( { - x} \right) + 2f\left( x \right)\) và thay tổng đó bằng \(\cos x\)

Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = {{1 + \cos 2x} \over 2}\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = - x \Rightarrow dt = - dx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = - {\pi \over 2} \Rightarrow t = {\pi \over 2} \hfill \cr x = {\pi \over 2} \Rightarrow t = - {\pi \over 2} \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow I = - \int\limits_{{\pi \over 2}}^{ - {\pi \over 2}} {\cos \left( { - t} \right)f\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {\cos xf\left( { - x} \right)dx} \)

\(\eqalign{ & \Rightarrow I + 2I = \int\limits_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {\cos x.f\left( { - x} \right)dx} + 2\int\limits_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {\cos x.f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {\cos x\left( {f\left( { - x} \right) + 2f\left( x \right)} \right)dx} \cr & \Leftrightarrow 3I = \int\limits_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {{{\cos }^2}xdx} = \int\limits_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} {{{1 + \cos 2x} \over 2}dx} = \left. {\left( {{1 \over 2}x + {{\sin 2x} \over 4}} \right)} \right|_{ - {\pi \over 2}}^{{\pi \over 2}} = {\pi \over 4} + {\pi \over 4} = {\pi \over 2} \cr & \Rightarrow I = {\pi \over 6} \cr} \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.