Cho biểu thức \(A=\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{3}}}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{1}{1-\sqrt{a}}\) (với \(a\ge 0,a\ne

Câu hỏi số 241469:

Vận dụng

Cho biểu thức \(A=\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{3}}}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{1}{1-\sqrt{a}}\) (với \(a\ge 0,a\ne 1\))

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

A. a) \(\frac{2}{{1 + a + {a^2}}}\)

b) \({{A}_{\text{max}}}=\frac{7}{3}\) khi \(a=-\frac{1}{4}\)

B. a) \(\frac{2}{{1 + a + {a^2}}}\)

b) \({{A}_{\text{max}}}=\frac{8}{3}\) khi \(a=-\frac{1}{2}\)

C. a) \(\frac{2}{{2 + a + {a^2}}}\)

b) \({{A}_{\text{max}}}=\frac{2}{3}\) khi \(a=-\frac{1}{2}\)

D. a) \(\frac{5}{{1 + a + {a^2}}}\)

b) \({{A}_{\text{max}}}=\frac{8}{3}\) khi \(a=-\frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241469

Phương pháp giải

+) Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn các phân thức.

+) Sử dụng điều kiện của đề bài và áp dụng các bất đẳng thức để tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết

a) \(A=\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{2}}}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{1}{1-\sqrt{a}}\)

\(\begin{align} =\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{3}}}-\frac{1-\sqrt{a}+1+\sqrt{a}}{\left( 1+\sqrt{a} \right)\left( 1-\sqrt{a} \right)}=\frac{2{{a}^{2}}+4}{1-{{a}^{2}}}-\frac{2}{\left( 1+\sqrt{a} \right)\left( 1-\sqrt{a} \right)} \\ =\frac{2{{a}^{2}}+4}{\left( 1-a \right)\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)}-\frac{2}{1-a}=\frac{2{{a}^{2}}+4-2\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)}{\left( 1-a \right)\left( 1+a \right)} \\ =\frac{2{{a}^{2}}+4-2-2a-2{{a}^{2}}}{\left( 1-a \right)\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)}=\frac{-2a+2}{\left( 1-a \right)\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)} \\ =\frac{2\left( 1-a \right)}{\left( 1-a \right)\left( 1+a+{{a}^{2}} \right)}=\frac{2}{1+a+{{a}^{2}}} \\ \end{align}\)

b) Ta có \({{a}^{2}}+a+1={{a}^{2}}+2.a.\frac{1}{2}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}={{\left( a+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\)

Suy ra \(A=\frac{2}{1+a+{{a}^{2}}}\le \frac{2}{\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a=-\frac{1}{2}\)

Vậy \({{A}_{\text{max}}}=\frac{8}{3}\) khi \(a=-\frac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link