Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC, AB lần lượt

Câu hỏi số 241401:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC, AB lần lượt tại D và E. H là giao điểm của BD và CE, K là giao điểm của DE và AH, F là giao điểm của Ah và BC, M là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: \(M{{D}^{2}}=MK.MF\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241401

Phương pháp giải

+) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng \({{90}^{0}}.\)

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp tương ứng.

+) Từ đó chứng minh các cặp góc bằng nhau và chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng để suy ra tỉ lệ cần chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có: \(\widehat{BDC}={{90}^{0}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác ADH vuông tại D

Vì M là trung điểm của AH nên \(DM=\frac{1}{2}AH=MH\Rightarrow \Delta MDH\)cân tại M \(\Rightarrow \widehat{MDB}=\widehat{MHD}=\widehat{BHF}\)

Mà \(\widehat{BHF}=\widehat{BCD}\)(cùng phụ với \(\widehat{HBF}\))\(\Rightarrow \widehat{MDB}=\widehat{BCD}\)

Góc\(\widehat{BCD}\)là góc nội tiếp chắn cung BD, \(\widehat{MDB}\)là góc tạo bởi dây cung BD và đoạn DM

Do đó DM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M

\(\Rightarrow \widehat{MDE}=\widehat{ABD}\) (cùng chắn cung ED)

Xét tứ giác ABFD có \(\widehat{BFA}=\widehat{BDA}={{90}^{0}}\)⇒ Tứ giác ABFD nội tiếp đường tròn đường kính AB

\(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{AFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AD)\(\Rightarrow \widehat{MDE}=\widehat{AFD}\)

Xét hai tam giác MDK và MFD có \(\widehat{DMF}\)chung, \(\widehat{MDE}=\widehat{AFD}\)(cmt)

\(\Rightarrow \Delta MDK\sim \Delta MFD\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MD}{MF}=\frac{MK}{MD}\Rightarrow M{{D}^{2}}=MF.MK\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link