Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt

Câu hỏi số 242457:

Vận dụng cao

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia hình hộp thành hai hình đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\) trong đó \(\left( H \right)\) là hình đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính tỉ số thể tích đa diện \(\left( H \right)\) và thể tích hình đa diện \(\left( {H'} \right)\).

A. \(\frac{{25}}{{47}}\)

B. \(\frac{{25}}{{72}}\)

C. \(\frac{{47}}{{25}}\)

D. \(\frac{{72}}{{47}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242457

Phương pháp giải

+) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt với \(\left( {AEF} \right)\).

+) Tính thể tích của \(H'\) so với thể tích hình hộp, đưa về các bài toán tính thể tích khối chóp và cộng trừ thể tích.

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chứa \(EF//BD \subset \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \) Giao tuyến của \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(EF\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) qua \(A\) kẻ \(HI//BD\,\,\left( {H \in BC,I \in CD} \right)\)

Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) gọi \(L = EH \cap BB'\), trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) gọi \(M = FI \cap DD'\), khi đó \(\left( {AEF} \right) \equiv \left( {ALEFM} \right)\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AEF} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = HE\\\left( {AEF} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = FI\\\left( {BCC'B'} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = CC'\end{array} \right. \Rightarrow HE,FI,CC'\) đồng quy tại \(N\).

Ta có : \({V_{H'}} = {V_{N.CIH}} - {V_{N.EFC'}} - {V_{L.ABH}} - {V_{M.ADI}}\)

Ta dễ dàng chứng minh được \(B,D\) lần lượt là trung điểm của \(CH,CI \Rightarrow BD = \frac{1}{2}HI \Rightarrow EF = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{4}HI\)

\( \Rightarrow \Delta C'EF\) đồng dạng với \(\Delta CIH\) theo tỉ số đồng dạng \(k = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta C'EF}}}}{{{S_{\Delta CIH}}}} = \frac{1}{{16}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{NC'}}{{NC}} = \frac{{EC'}}{{HC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{d\left( {N';\left( {C'EF} \right)} \right)}}{{d\left( {N;\left( {CIH} \right)} \right)}} = \frac{1}{4}\\ \Rightarrow {V_{N.EFC'}} = \frac{1}{{16}}.\frac{1}{4}{V_{N.CIH}} = \frac{1}{{64}}{V_{N.CIH}}\\{V_{LABH}} = {V_{M.ADI}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{4}{V_{N.CIH}} = \frac{1}{8}{V_{N.CIH}}\\ \Rightarrow {V_{H'}} = {V_{N.CIH}} - {V_{N.EFC'}} - {V_{L.ABH}} - {V_{M.ADI}} = \frac{{47}}{{64}}{V_{N.CIH}}\end{array}\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{CC'}}{{NC}} = \frac{3}{4},\frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{CIH}}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.CIH}}}} = \frac{{d\left( {C';\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}}}{{\frac{1}{3}d\left( {N;\left( {CIH} \right)} \right).{S_{CIH}}}} = 3.\frac{{CC'}}{{NC}}.\frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{CIH}}}} = 3.\frac{3}{4}.\frac{1}{2} = \frac{9}{8}\\ \Rightarrow {V_{S.CIH}} = \frac{8}{9}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\ \Rightarrow {V_{H'}} = \frac{{47}}{{64}}{V_{N.CIH}} = \frac{{47}}{{72}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\ \Rightarrow {V_H} = \frac{{25}}{{72}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\ \Rightarrow \frac{{{V_H}}}{{{V_H}}} = \frac{{25}}{{47}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.