Cho hai số thực dương thỏa mãn \(xy=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu hỏi số 242549:

Vận dụng cao

Cho hai số thực dương thỏa mãn \(xy=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(M={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{3}{x+y+1}\)

A. \({{M}_{\min }}=4\)

B. \({{M}_{\min }}=5\)

\({{M}_{\min }}=6\)

D. \({{M}_{\min }}=7\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242549

Phương pháp giải

+) Biến đổi biểu thức của M sau đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm GTNN của biểu thức.

+) Tìm giá trị của x và y để dấu “=” xảy ra và kết luận.

Giải chi tiết

\(\begin{align} & M={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{3}{x+y+1}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1+2xy+2x+2y-2(x+y+1)+\frac{3}{x+y+1} \\ & \,\,\,\,\,\,\,={{\left( x+y+1 \right)}^{2}}-2\left( x+y+1 \right)+\frac{3}{x+y+1} \\ \end{align}\)

Đặt \(t=x+y+1\ge 2\sqrt{xy}+1=3\)

\(\begin{align} & \Rightarrow M={{t}^{2}}-2t+\frac{3}{t} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{\left( t-3 \right)}^{2}}+4t+\frac{3}{t}-9 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{\left( t-3 \right)}^{2}}+\frac{t}{3}+\frac{3}{t}+\frac{11}{3}t-9 \\ \end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có \(\frac{t}{3}+\frac{3}{t}\ge 2\sqrt{\frac{t}{3}.\frac{3}{t}}=2\) \(\Rightarrow M\ge 0+2+\frac{11}{3}.3-9=4\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{align} & x=y \\ & t=3 \\ & \frac{t}{3}=\frac{3}{t} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy \({{M}_{\min }}=4\Leftrightarrow x=y=1\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link