Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng d cố định không giao nhau. Hạ OH vuông

Câu hỏi số 242548:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một đường thẳng d cố định không giao nhau. Hạ OH vuông góc với d. M là một điểm tùy ý trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm và tia MQ nằm giữa hai tia MH và MO). Dây cung PQ cắt OH và OM lần lượt tại I và K.

1) Chứng minh rằng tứ giác OMHQ nội tiếp.

2) Chứng minh rằng \(\widehat{OMH}=\widehat{OIP}\).

3) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm I luôn cố định.

4) Biết \(OH=R\sqrt{2}\), tính \(IP.IQ\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242548

Phương pháp giải

+) Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\) là tứ giác nội tiếp.

+) Dựa vào tứ giác nội tiếp được chứng minh ở câu trên và các tính chất của đường tròn để chứng minh các góc bằng nhau.

+) Sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau.

+) Từ đó chứng minh các cặp tam giác đồng dạng sau đó tính các cạnh cần tính.

Giải chi tiết

1) Xét tứ giác OMHQ có \(\widehat{OQM}={{90}^{0}}\)(MQ là tiếp tuyến của (O))

\(\widehat{OHM}={{90}^{0}}\) (OH ⊥ d)

Vậy tứ giác OMHQ nội tiếp (Tứ giác có hai góc nội tiếp bằng nhau)

2) Ta có: \(\widehat{OMH}+\widehat{MOH}={{90}^{0}}\)(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OMH)

Ta có OP = OQ = R, MP = MQ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ OM là trung trực của PQ \(\Rightarrow OM\bot PQ\)

⇒ \(\widehat{OIP}+\widehat{MOH}={{90}^{0}}\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông OIK)

Vậy \(\widehat{OMH}=\widehat{OIP}\) (cùng phụ với \(\widehat{MOH}\))

3) Xét hai tam giác OIK và OMH có \(\widehat{OMH}=\widehat{OIP}\) (cmt), \(\widehat{OHM}=\widehat{OKI}={{90}^{0}}\)

Suy ra \(\Delta OIK\sim \Delta OMH\left( g.g \right)\)

\(\Rightarrow \frac{OI}{OM}=\frac{OK}{OH}\Rightarrow OI=\frac{OK.OM}{OH}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OQM có \({{R}^{2}}=O{{Q}^{2}}=OK.OM\)

\(\Rightarrow OI=\frac{{{R}^{2}}}{OH}\)

Vì d cố định nên OH không đổi, R luôn không đổi nên OI không đổi. Mà \(I\in OH\) cố định nên I cố định.

4) Xét tứ giác OPMQ có: \(\widehat{OPM}+\widehat{OQM}={{180}^{0}}\) ⇒ Tứ giác OPMQ nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\)) ⇒ \(\widehat{OPI}=\widehat{OMQ}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OQ)

Mà \(\widehat{OMQ}=\widehat{OHQ}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung OQ của đường tròn nội tiếp tứ giác OQHM)

\(\Rightarrow \widehat{OIP}=\widehat{OHQ}\)

Xét tam giác IOP và IQH có: \(\widehat{OIP}=\widehat{HIQ}\)(đối đỉnh), \(\widehat{OIP}=\widehat{OHQ}\)(cmt)

\(\Rightarrow \Delta IOP\sim \Delta IQH\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{IO}{IQ}=\frac{IP}{IH}\Rightarrow IP.IQ=IH.IO\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta OPQ\) cân tại O nên \(\widehat{OQI}=\widehat{OPI}\), mà \(\widehat{OPI}=\widehat{IHQ}\ \left( \Delta OIP\sim \Delta IQH \right).\)

\(\Rightarrow \widehat{OQI}=\widehat{IHQ}\)

Xét tam giác OIQ và OQH có \(\widehat{IOQ}\)chung, \(\widehat{OQI}=\widehat{IHQ}\)(cmt)

\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta OIQ\sim \Delta OQH\Rightarrow \frac{OI}{OQ}=\frac{OQ}{OH}\Rightarrow OI.OH=O{{Q}^{2}}={{R}^{2}} \\ & \Rightarrow OI\left( OI+IH \right)={{R}^{2}}\Rightarrow O{{I}^{2}}+IO.IH={{R}^{2}}\Rightarrow IO.IH={{R}^{2}}-O{{I}^{2}}\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(IP.IQ={{R}^{2}}-O{{I}^{2}}\)

\(\begin{align} & OH=R\sqrt{2}\Rightarrow OI=\frac{{{R}^{2}}}{OH}=\frac{{{R}^{2}}}{R\sqrt{2}}=\frac{R}{\sqrt{2}} \\ & \Rightarrow IP.IQ={{R}^{2}}-\frac{{{R}^{2}}}{2}=\frac{{{R}^{2}}}{2} \\ \end{align}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link