Cho Elip \((E):\,\,16{x^2} + 25{y^2} = 400\). Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({60^0}\)

Câu hỏi số 242879:

Vận dụng

Cho Elip \((E):\,\,16{x^2} + 25{y^2} = 400\). Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({60^0}\) có tọa độ là:

A. \({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right)\)

B. \({M_1}\left( {\sqrt {{{25} \over {27}}} ;\sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{25} \over {27}}} ; - \sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{25} \over {27}}} ; - \sqrt {{{26} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{25} \over {27}}} ;\sqrt {{{26} \over {27}}} } \right)\)

C. \({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over 7}} ;\sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over 7}} ; - \sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over 7}} ; - \sqrt {{{256} \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over 7}} ;\sqrt {{{256} \over 7}} } \right)\)

D. \({M_1}\left( {\sqrt {{{25} \over 7}} ;\sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{25} \over 7}} ; - \sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{25} \over 7}} ; - \sqrt {{{26} \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{25} \over 7}} ;\sqrt {{{26} \over 7}} } \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242879

Phương pháp giải

Đưa phương trình elip về dạng chính tắc.

Xác định các hệ số a, b, c.

Sử dụng các công thức \(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0},\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0},\,\,{F_1}{F_2} = 2c\)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(M{F_1}{F_2}\)

Giải chi tiết

Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,16{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 400\).

\((E):\,\,16{x^2} + 25{y^2} = 400 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 4\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow c = 3\)

\({F_1}{F_2} = 2c = 6\)

\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 5 + {3 \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 5 - {3 \over 5}{x_0}\)

Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({60^0}\( \( \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^0}\)

Áp dụng định lý Côsin, ta có: \({F_1}{F_2}^{2\;} = {\rm{ }}M{F_1}^2 + {\rm{ }}M{F_2}^2 - {\rm{ }}2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^0}\)

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {6^2} = {\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)\cos {60^0} \cr & \Leftrightarrow 36 = {\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {3 \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {3 \over 5}{x_0}} \right).{1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 36 = 25 + 6{x_0} + {{9{x_0}^2} \over {25}} + 25 - 6{x_0} + {{9{x_0}^2} \over {25}} - 25 + {{9{x_0}^2} \over {25}} \cr & \Leftrightarrow {{27{x_0}^2} \over {25}} = 11 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {{275} \over {27}} \Leftrightarrow {x_0} = \pm \sqrt {{{275} \over {27}}} \cr} \)

Ta có: \(16{x_0}^2 + 25{y_0}^2 = 400 \Leftrightarrow 16.{{275} \over {27}} + 25{y_0}^2 = 400 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{256} \over {27}} \Leftrightarrow {y_0} = \pm \sqrt {{{256} \over {27}}} \)

Vậy, các điểm M thoả mãn yêu cầu đề bài là:

\({M_1}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ; - \sqrt {{{256} \over {27}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{275} \over {27}}} ;\sqrt {{{256} \over {27}}} } \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.