Cho Elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\). Tọa độ điểm \(M \in (E)\) sao cho \(\widehat

Câu hỏi số 242880:

Vận dụng

Cho Elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\). Tọa độ điểm \(M \in (E)\) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {120^0}\) là:

A. \({M_1}\left( {\sqrt {\frac{{75}}{7}} ;\sqrt {\frac{6}{7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {\frac{{75}}{7}} ; - \frac{6}{7}} \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {\frac{{75}}{7}} ;\sqrt {\frac{6}{7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {\frac{{75}}{7}} ; - \sqrt {\frac{6}{7}} } \right)\)

B. \({M_1}\left( {\sqrt {{5 \over 7}} ;\sqrt {{6 \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{5 \over 7}} ; - \sqrt {{6 \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{5 \over 7}} ;\sqrt {{6 \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{5 \over 7}} ; - \sqrt {{6 \over 7}} } \right)\)

C. \({M_1}\left( {\sqrt {{{75} \over {17}}} ;\sqrt {{{16} \over {17}}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{75} \over {17}}} ; - \sqrt {{{16} \over {17}}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{75} \over {17}}} ;\sqrt {{{16} \over {17}}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{75} \over {17}}} ; - \sqrt {{{16} \over {17}}} } \right)\)

D. \({M_1}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ;\sqrt {{{16} \over 7}} } \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ; - \sqrt {{{16} \over 7}} } \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ;\sqrt {{{16} \over 7}} } \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ; - \sqrt {{{16} \over 7}} } \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242880

Phương pháp giải

Xác định các hệ số a, b, c.

Sử dụng các công thức \(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0},\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0},\,\,{F_1}{F_2} = 2c\)

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(M{F_1}{F_2}\)

Giải chi tiết

Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1\).

\((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow a = 5,\,b = 2\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {5^2} - {2^2} = 21 \Rightarrow c = \sqrt {21} \)

\({F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {21} \)

\(M{F_1} = a + {c \over a}{x_0} = 5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0};\,\,\,\,M{F_2} = a - {c \over a}{x_0}\, = 5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}\)

Điểm \(M \in (E)\) nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc \({120^0} \Rightarrow \widehat {{F_1}M{F_2}} = {120^0}\)

Áp dụng định lý Côsin, ta có: \({F_1}{F_2}^{2\;} = {\rm{ }}M{F_1}^2 + {\rm{ }}M{F_2}^2 - {\rm{ }}2M{F_1}.M{F_2}\cos {120^0}\)

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {21} } \right)^2} = {\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\cos {120^0} \cr & \Leftrightarrow 84 = {\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right)\left( {5 - {{\sqrt {21} } \over 5}{x_0}} \right).{{ - 1} \over 2} \cr & \Leftrightarrow 84 = 25 + 2\sqrt {21} {x_0} + {{21{x_0}^2} \over {25}} + 25 - 2\sqrt {21} {x_0} + {{21{x_0}^2} \over {25}} + 25 - {{21{x_0}^2} \over {25}} \cr & \Leftrightarrow {{21{x_0}^2} \over {25}} = 9 \Leftrightarrow {x_0}^2 = {{75} \over 7} \Leftrightarrow {x_0} = \pm \sqrt {{{75} \over 7}} \cr} \)

Ta có: \({{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \Rightarrow {{{{75} \over 7}} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \Leftrightarrow {y_0}^2 = {{16} \over 7} \Leftrightarrow {y_0} = \pm {4 \over {\sqrt 7 }}\)

Vậy, có 4 điểm M thoả mãn yêu cầu đề bài là:

\({M_1}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ;{4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_2}\left( {\sqrt {{{75} \over 7}} ; - {4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_3}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ;{4 \over {\sqrt 7 }}} \right);\,\,{M_4}\left( { - \sqrt {{{75} \over 7}} ; - {4 \over {\sqrt 7 }}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.