Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng \(D:\,\,x - 2y + 12 = 0\).

Câu hỏi số 242882:

Vận dụng

Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng \(D:\,\,x - 2y + 12 = 0\). Tọa độ điểm \(M \in (E)\) sao cho khoảng cách từ M đến D lớn nhất là:

A. \(M\left( { - \frac{{25}}{{18}}\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} ;\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} } \right)\)

B. \(M\left( { - \frac{{5\sqrt {29} }}{{108}};\frac{{\sqrt {29} }}{6}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{{5\sqrt {29} }}{{108}}; - \frac{{\sqrt {29} }}{6}} \right)\)

C. \(M\left( {\frac{{25}}{{18}}\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} ; - \sqrt {\frac{{324}}{{661}}} } \right)\)

D. \(M\left( { - \frac{{25\sqrt {299} }}{{108}};\frac{{\sqrt {299} }}{6}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{{25\sqrt {299} }}{{108}}; - \frac{{\sqrt {299} }}{6}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242882

Phương pháp giải

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right)\), tính \(d\left( {M;\left( D \right)} \right) = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)

Sử dụng các bất đẳng thức \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a.b \ge 0\) và BĐT Bunhia-copxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {a \over x} = {b \over y}\)

Giải chi tiết

Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1\).

Khoảng cách từ M đến D:

\(\eqalign{ & d(M,D) = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt 5 }} \le {{\left| {{x_0} - 2{y_0}} \right| + 12} \over {\sqrt 5 }} = {{\left| {5.{{{x_0}} \over 5} + \left( { - 6} \right){{{y_0}} \over 3}} \right| + 12} \over {\sqrt 5 }} \le {{\sqrt {({5^2} + {6^2})\left( {{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9}} \right)} + 12} \over {\sqrt 5 }} \cr & = {{\sqrt {(25 + 36).1} + 12} \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {61} + 12} \over {\sqrt 5 }} \cr} \).

Vậy,

\(d{(M,D)_{\max }} = {{\sqrt {61} + 12} \over {\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {{x_0} - 2{y_0}} \right).12 \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {{{{{x_0}} \over 5}} \over 5} = {{{{{y_0}} \over 3}} \over { - 6}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr 18{x_0} + 25{y_0} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{{\left( { - {{25} \over {18}}{y_0}} \right)}^2}} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0}^2 = {{324} \over {661}} \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0} = \pm \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {x_0} = - {{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {y_0} = \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr} \right.\,\,(L) \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_0} = {{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {y_0} = - \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr} \right.\,\,(TM) \hfill \cr} \right.\)

Khi đó, \(M\left( {{{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} ; - \sqrt {{{324} \over {661}}} } \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.