Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng \(D:\,\,x - 2y + 12 = 0\).

Câu hỏi số 242882:

Vận dụng

Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\) và đường thẳng \(D:\,\,x - 2y + 12 = 0\). Tọa độ điểm \(M \in (E)\) sao cho khoảng cách từ M đến D lớn nhất là:

A. \(M\left( { - \frac{{25}}{{18}}\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} ;\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} } \right)\)

B. \(M\left( { - \frac{{5\sqrt {29} }}{{108}};\frac{{\sqrt {29} }}{6}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{{5\sqrt {29} }}{{108}}; - \frac{{\sqrt {29} }}{6}} \right)\)

C. \(M\left( {\frac{{25}}{{18}}\sqrt {\frac{{324}}{{661}}} ; - \sqrt {\frac{{324}}{{661}}} } \right)\)

D. \(M\left( { - \frac{{25\sqrt {299} }}{{108}};\frac{{\sqrt {299} }}{6}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{{25\sqrt {299} }}{{108}}; - \frac{{\sqrt {299} }}{6}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242882

Phương pháp giải

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( E \right)\), tính \(d\left( {M;\left( D \right)} \right) = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\)

Sử dụng các bất đẳng thức \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a.b \ge 0\) và BĐT Bunhia-copxki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge {\left( {ax + by} \right)^2}\), dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {a \over x} = {b \over y}\)

Giải chi tiết

Gọi \(M({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1\).

Khoảng cách từ M đến D:

\(\eqalign{ & d(M,D) = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\left| {{x_0} - 2{y_0} + 12} \right|} \over {\sqrt 5 }} \le {{\left| {{x_0} - 2{y_0}} \right| + 12} \over {\sqrt 5 }} = {{\left| {5.{{{x_0}} \over 5} + \left( { - 6} \right){{{y_0}} \over 3}} \right| + 12} \over {\sqrt 5 }} \le {{\sqrt {({5^2} + {6^2})\left( {{{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9}} \right)} + 12} \over {\sqrt 5 }} \cr & = {{\sqrt {(25 + 36).1} + 12} \over {\sqrt 5 }} = {{\sqrt {61} + 12} \over {\sqrt 5 }} \cr} \).

Vậy,

\(d{(M,D)_{\max }} = {{\sqrt {61} + 12} \over {\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {{x_0} - 2{y_0}} \right).12 \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {{{{{x_0}} \over 5}} \over 5} = {{{{{y_0}} \over 3}} \over { - 6}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr 18{x_0} + 25{y_0} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{{\left( { - {{25} \over {18}}{y_0}} \right)}^2}} \over {25}} + {{{y_0}^2} \over 9} = 1 \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0}^2 = {{324} \over {661}} \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - 2{y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0} = \pm \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {x_0} = - {{25} \over {18}}{y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {x_0} = - {{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {y_0} = \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr} \right.\,\,(L) \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_0} = {{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr {y_0} = - \sqrt {{{324} \over {661}}} \hfill \cr} \right.\,\,(TM) \hfill \cr} \right.\)

Khi đó, \(M\left( {{{25} \over {18}}\sqrt {{{324} \over {661}}} ; - \sqrt {{{324} \over {661}}} } \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10