Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over 8} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - \sqrt 2 y + 2 =

Câu hỏi số 242883:

Vận dụng

Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over 8} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - \sqrt 2 y + 2 = 0\). Đường thẳng D cắt (E) tại 2 điểm B và C. Tọa độ điểm A trên (E) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất là:

A. \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\)

B. \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\) hoặc \(A\left( { - 2;\sqrt 2 } \right)\)

C. \(A\left( {2; - \sqrt 3 } \right)\)

D. \(A\left( {2; - \sqrt 3 } \right)\) hoặc \(A\left( { - 2;\sqrt 3 } \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242883

Giải chi tiết

Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}.d(A;BC).BC = {1 \over 2}d(A,\Delta ).BC\)

Nhận xét: \({S_{ABC}}\) đạt GTLN khi và chỉ khi \(d(A;\Delta )\) lớn nhất.

\(A({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,\,{{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1\).

Khoảng cách từ A đến D:

\(\eqalign{ & d(A,\Delta ) = {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2} \right|} \over {\sqrt 3 }} \le {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0}} \right| + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {2\sqrt 2 .{{{x_0}} \over {2\sqrt 2 }} + \left( { - 2\sqrt 2 } \right).{{{y_0}} \over 2}} \right| + 2} \over {\sqrt 3 }} \cr & \le {{\sqrt {\left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]\left( {{{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4}} \right)} + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{\sqrt {16.1} + 2} \over {\sqrt 3 }} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \cr} \)

\(\eqalign{ & d{(A;\Delta )_{{\rm{Max}}}} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {{x_0} - \sqrt 2 {y_0}} \right).2 \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {{{{{x_0}} \over {2\sqrt 2 }}} \over {2\sqrt 2 }} = {{{{{y_0}} \over 2}} \over { - 2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {{2{y_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0}^2 = 2 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0} = \pm \sqrt 2 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {x_0} = 2 \hfill \cr {y_0} = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\,(TM) \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_0} = - 2 \hfill \cr {y_0} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.(L) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Khi đó, \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10