Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over 8} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - \sqrt 2 y + 2 =

Câu hỏi số 242883:

Vận dụng

Cho elip \((E):\,\,{{{x^2}} \over 8} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,x - \sqrt 2 y + 2 = 0\). Đường thẳng D cắt (E) tại 2 điểm B và C. Tọa độ điểm A trên (E) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất là:

A. \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\)

B. \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\) hoặc \(A\left( { - 2;\sqrt 2 } \right)\)

C. \(A\left( {2; - \sqrt 3 } \right)\)

D. \(A\left( {2; - \sqrt 3 } \right)\) hoặc \(A\left( { - 2;\sqrt 3 } \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242883

Giải chi tiết

Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}.d(A;BC).BC = {1 \over 2}d(A,\Delta ).BC\)

Nhận xét: \({S_{ABC}}\) đạt GTLN khi và chỉ khi \(d(A;\Delta )\) lớn nhất.

\(A({x_0};{y_0}) \in (E) \Rightarrow \,\,\,{{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1\).

Khoảng cách từ A đến D:

\(\eqalign{ & d(A,\Delta ) = {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0} + 2} \right|} \over {\sqrt 3 }} \le {{\left| {{x_0} - \sqrt 2 {y_0}} \right| + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{\left| {2\sqrt 2 .{{{x_0}} \over {2\sqrt 2 }} + \left( { - 2\sqrt 2 } \right).{{{y_0}} \over 2}} \right| + 2} \over {\sqrt 3 }} \cr & \le {{\sqrt {\left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} \right]\left( {{{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4}} \right)} + 2} \over {\sqrt 3 }} = {{\sqrt {16.1} + 2} \over {\sqrt 3 }} = {6 \over {\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \cr} \)

\(\eqalign{ & d{(A;\Delta )_{{\rm{Max}}}} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {{x_0} - \sqrt 2 {y_0}} \right).2 \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {{{{{x_0}} \over {2\sqrt 2 }}} \over {2\sqrt 2 }} = {{{{{y_0}} \over 2}} \over { - 2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {{{x_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {{2{y_0}^2} \over 8} + {{{y_0}^2} \over 4} = 1 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0}^2 = 2 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_0} - \sqrt 2 {y_0} \ge 0 \hfill \cr {y_0} = \pm \sqrt 2 \hfill \cr {x_0} = - \sqrt 2 {y_0} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {x_0} = 2 \hfill \cr {y_0} = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\,(TM) \hfill \cr \left\{ \matrix{ {x_0} = - 2 \hfill \cr {y_0} = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.(L) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Khi đó, \(A\left( {2; - \sqrt 2 } \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.