Cho elip \((E):13{x^2} + 16{y^2} = 208\). Tìm tọa độ các điểm A, B trên (E) và đối xứng nhau qua Ox

Câu hỏi số 242884:

Vận dụng

Cho elip \((E):13{x^2} + 16{y^2} = 208\). Tìm tọa độ các điểm A, B trên (E) và đối xứng nhau qua Ox (điểm A có tung độ dương) sao cho \(AB{F_1}\) là tam giác đều.

A. \(A\left( {{{\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( {{{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\)

B. \(A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\).

C. \(A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( {{{4\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{4\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\).

D. \(A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{3 \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {3 \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( {{{4\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{4\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242884

Phương pháp giải

Gọi \(A({x_0};{y_0}) \in \left( E \right)\,\,\left( {{y_0} > 0} \right)\), xác định điểm B đối xứng với A qua trục Ox.

Tam giác \(AB{F_1}\) đều \( \Leftrightarrow AB = A{F_1}\)

Giải chi tiết

Giả sử \(A({x_0};{y_0}),\,\,{y_0} > 0\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\).

\((E):13{x^2} + 16{y^2} = 208 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over {13}} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = \sqrt {13} \Rightarrow c = \sqrt 3 \)

\( \Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\)

Ta có: \(A{B^2} = 4{y_0}^2,\,\,\,A{F_1}^2 = {\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + {y_0}^2\)

Vì \(A \in \left( E \right) \Rightarrow 13{x_0}^2 + 16{y_0}^2 = 208 \Rightarrow {y_0}^2 = 13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2\,\,(1)\)

Vì tam giác \(AB{F_1}\) là tam giác đều \( \Rightarrow AB = A{F_1} \Rightarrow {\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + {y_0}^2 = 4{y_0}^2\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) ta được : \({\left( {{x_0} + \sqrt 3 } \right)^2} + 13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2 = 4\left( {13 - {{13} \over {16}}{x_0}^2} \right) \Leftrightarrow {{55} \over {16}}{x_0}^2 + 2\sqrt 3 {x_0} - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x_0} = {{8\sqrt 3 } \over 5} \hfill \cr {x_0} = {{ - 24\sqrt 3 } \over {11}} \hfill \cr} \right.\)

+) \({x_0} = {{8\sqrt 3 } \over 5} \Rightarrow \left[ \matrix{ {y_0} = {{13} \over 5} \hfill \cr {y_0} = - {{13} \over 5}\,(L) \hfill \cr} \right. \Rightarrow A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\)

+) \({x_0} = {{ - 24\sqrt 3 } \over {11}} \Rightarrow \left[ \matrix{ {y_0} = {{13} \over {11}} \hfill \cr {y_0} = - {{13} \over {11}}\,(L) \hfill \cr} \right. \Rightarrow A\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\)

Vậy, \(A\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5};{{13} \over 5}} \right),\,B\left( {{{8\sqrt 3 } \over 5}; - {{13} \over 5}} \right)\,\) hoặc \(A\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}};{{13} \over {11}}} \right),\,B\left( { - {{24\sqrt 3 } \over {11}}; - {{13} \over {11}}} \right)\,\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.