Cho hypebol \((H):\,{{{x^2}} \over 4} - {{{y^2}} \over {16}} = 1\). Tìm phương trình đường chéo của hình
Cho hypebol \((H):\,{{{x^2}} \over 4} - {{{y^2}} \over {16}} = 1\). Tìm phương trình đường chéo của hình chữ nhật tâm O có 4 đỉnh thuộc (H) sao cho hệ số góc các đường chéo là số nguyên.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Lấy các điểm\(A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)\) là 4 đỉnh của hình chữ nhật ABCD, có tâm O.
Viết phương trình các đường chéo AC, BD và suy ra hệ số góc của chúng, tìm điều kiện để các hệ số góc đó là số nguyên.
Gọi\(A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)\) là 4 đỉnh của hình chữ nhật ABCD, có tâm O.
\(A,B,C,D \in (H) \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} - {{{y_0}^2} \over {16}} = 1\) (1)
Phương trình đường thẳng \(AC:\,\,y = {{{y_0}} \over {{x_0}}}x\) và phương trình đường thẳng \(BD:\,\,y = - {{{y_0}} \over {{x_0}}}.x\)
Hệ số góc của đường chéo AC, BD lần lượt là : \({{{y_0}} \over {{x_0}}}\) và \( - {{{y_0}} \over {{x_0}}}\)
Hệ số góc các đường chéo là số nguyên \( \Leftrightarrow {{{y_0}} \over {{x_0}}} \in Z,\, - {{{y_0}} \over {{x_0}}} \in Z \Leftrightarrow {{{y_0}} \over {{x_0}}} \in Z.\)
Đặt \({{{y_0}} \over {{x_0}}} = k \in {Z^ + } \Leftrightarrow {y_0} = k{x_0}\). Thay vào (1), ta được :
\({{{x_0}^2} \over 4} - {{{k^2}{x_0}^2} \over {16}} = 1 \Leftrightarrow {{{k^2}{x_0}^2} \over {16}} = {{{x_0}^2} \over 4} - 1 \Leftrightarrow {k^2}{x_0}^2 = 4{x_0}^2 - 16 \Leftrightarrow {k^2} = 4 - {{16} \over {{x_0}^2}}\) (2)
Từ (2) \( \Rightarrow 0 < {k^2} < 4\)
Mà \(k \in Z \Rightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ k = 1\,\,(TM) \hfill \cr k = - 1(L) \hfill \cr} \right.\)
\(k = 1 \Rightarrow AC:\,\,y = x,\,\,\,BD:\,\,y = - x\)
Vậy, phương trình đường chéo cần tìm là: \(y = x,\,\,\,y = - x\).
Đáp án cần chọn là: C
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
