Cho hypebol \((H):{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\,\,(b > a > 0)\). Cho \(k\) là một
Cho hypebol \((H):{{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\,\,(b > a > 0)\). Cho \(k\) là một số thực dương. Xét các đường thẳng \(({d_1}):\,\,y = kx,({d_2}):\,\,y = - {1 \over k}x\) đều cắt (H) tại 2 điểm phân biệt. Gọi A và C lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) với (H) (A nằm trong góc phần tư thứ nhất). Gọi B và D lần lượt là giao điểm của \(({d_2})\) với (H) (B nằm trong góc phần tư thứ hai). Tìm k sao cho hình thoi ABCD có diện tích nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
*) Chứng minh \({1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} = {1 \over {{a^2}}} - {1 \over {{b^2}}}\) không đổi.
*) Áp dụng kết quả này ta được: \({1 \over {{a^2}}} - {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} \ge {2 \over {OA.OB}} = {1 \over {{S_{OAB}}}} \Rightarrow {S_{OAB}} \ge {{{a^2}{b^2}} \over {{a^2} + {b^2}}}\)
Giả sử phương trình đường thẳng AC là \(y = kx\)
Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ y = kx \hfill \cr {{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ y = kx \hfill \cr {{{x^2}} \over {{a^2}}} - {{{k^2}{x^2}} \over {{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {y^2} = {k^2}{x^2} \hfill \cr {x^2}\left( {{1 \over {{a^2}}} - {{{k^2}} \over {{b^2}}}} \right) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} = {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} \hfill \cr {y^2} = {{{k^2}{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow O{A^2} = {x^2} + {y^2} = {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} + {{{k^2}{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} = {{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {k^2}{a^2}}} \Rightarrow {1 \over {O{A^2}}} = {{{b^2} - {k^2}{a^2}} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}\)
Chứng minh tương tự ta được \(O{B^2} = {{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}} \over {{k^2}{b^2} - {a^2}}} \Rightarrow {1 \over {O{B^2}}} = {{{k^2}{b^2} - {a^2}} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} = {{{b^2} - {k^2}{a^2}} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}} + {{{k^2}{b^2} - {a^2}} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}} \cr & = {{{b^2}\left( {1 + {k^2}} \right) - {a^2}\left( {1 + {k^2}} \right)} \over {\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}} = {{{b^2} - {a^2}} \over {{a^2}{b^2}}} = {1 \over {{a^2}}} - {1 \over {{b^2}}} = const \cr} \)
Khi đó:
\(\eqalign{ {1 \over {{a^2}}} - {1 \over {{b^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}}\mathop \ge \limits^{Cauchy} {2 \over {OA.OB}} = {4 \over {{S_{ABCD}}}} \cr \Leftrightarrow {{{b^2} - {a^2}} \over {{a^2}{b^2}}} \ge {4 \over {{S_{ABCD}}}} \Leftrightarrow {S_{ABCD}} \ge {{4{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {a^2}}} \cr \Rightarrow {S_{ABCD\,Min}} = {{4{a^2}{b^2}} \over {{b^2} - {a^2}}} \Leftrightarrow OA = OB \cr} \)
\( \Leftrightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O
\( \Rightarrow y = kx\) là tia phân giác của góc phần tư thứ I
\( \Rightarrow k = 1\).
Đáp án cần chọn là: A
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
