Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{e}^{x}}+3}\) thỏa

Câu hỏi số 242997:

Thông hiểu

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2{{e}^{x}}+3}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right)=10.\) Tìm \(F\left( x \right).\)

A. \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( x-\ln \left( {{e}^{x}}+\frac{3}{2} \right) \right)+10+\ln 5-\ln 2.\)

B. \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( x+10-\ln \left( 2{{e}^{x}}+3 \right) \right).\)

C. \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( x-\ln \left( {{e}^{x}}+\frac{3}{2} \right) \right)+10-\frac{\ln 5-\ln 2}{3}.\)

D. \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( x-\ln \left( 2{{e}^{x}}+3 \right) \right)+10+\frac{\ln 5}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242997

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến số tìm nguyên hàm của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có \(F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\,dx}=\int{\frac{dx}{2{{e}^{x}}+3}}=\int{\frac{{{e}^{x}}}{2{{e}^{2x}}+3{{e}^{x}}}dx}.\)

Đặt \({{e}^{x}}=t\Rightarrow {{e}^{x}}dx=dt.\)

\(\begin{align} & \Rightarrow I=\int{\frac{dt}{2{{t}^{2}}+3t}=\frac{1}{3}\int{\left( \frac{1}{t}-\frac{2}{2t+3} \right)dt=\frac{1}{3}\left( \ln t-\ln \left( 2t+3 \right) \right)}}+C \\ & \Rightarrow F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( x-\ln \left( 2{{e}^{x}}+3 \right) \right)+C. \\ \end{align}\)

Mà \(F\left( 0 \right)=10\) suy ra \(C-\frac{\ln 5}{3}=10\Leftrightarrow C=10+\frac{\ln 5}{3}.\)

Vậy \(F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( x-\ln \left( 2{{e}^{x}}+3 \right) \right)+10+\frac{\ln 5}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.