Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị \(\left( C

Câu hỏi số 243007:

Vận dụng

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^{4}}+5$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm số phần tử của $S.$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243007

Phương pháp giải

Xác định tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số trùng phương và sử dụng điều kiện tứ giác nội tiếp để tìm giá trị tham số m

Giải chi tiết

Ta có ${y}'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x;\,\,{y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \,m \\ \end{align} \right..$

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi $m\ne 0.$

Khi đó, gọi $A\left( 0;{{m}^{4}}+5 \right),$$B\left( -\,m;5 \right),\,\,C\left( m;5 \right)$ là tọa độ ba điểm cực trị.

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $OBAC$. Vì OA là trung trực của BC $\Rightarrow \,\,I\in BC\Rightarrow I\in Oy\Rightarrow \,\,I\left( 0;a \right).$ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBAC $\Rightarrow IA=IO$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $OA$$\Rightarrow \,\,I\left( 0;\frac{{{m}^{4}}+5}{2} \right)$ mà $OI=IB$ nên suy ra

$\frac{{{m}^{4}}+5}{2}=\sqrt{{{m}^{2}}+{{\left( \frac{{{m}^{4}}-5}{2} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{{{m}^{4}}+5}{2} \right)}^{2}}={{m}^{2}}+{{\left( \frac{{{m}^{4}}-5}{2} \right)}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{align} & {{m}^{2}}=0\,\,\left( ktm \right) \\ & {{m}^{2}}=\frac{1}{5} \\ \end{align} \right.\Rightarrow m=\pm \,\frac{1}{\sqrt{5}}.$

Vậy có tất cả hai giá trị $m$ cần tìm $\Rightarrow $ Số phần tử của $S$ là $2.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.