Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a\sqrt{3},\,\,AD=a.\) Tam giác \(SAB\)

Câu hỏi số 243010:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB=a\sqrt{3},\,\,AD=a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo \(a\) diện tích \(S\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD.\)

A. \(S=5\pi {{a}^{2}}.\)

B. \(S=2\pi {{a}^{2}}.\)

C. \(S=10\pi {{a}^{2}}.\)

D. \(S=4\pi {{a}^{2}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243010

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính nhanh tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp dạng mặt bên vuông góc với đáy

Giải chi tiết

Cách 1:

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) là \({{R}_{ABCD}}=a.\)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({{R}_{\Delta \,ABC}}=a\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=a.\)

Áp dụng công thức tính nhanh, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) là

\(R=\sqrt{R_{ABCD}^{2}+R_{\Delta \,ABC}^{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-\frac{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.\)

Cách 2 :

Gọi H là trung điểm của \(AB\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\)

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD \(\Rightarrow \) O là tâm đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\).

Qua O kẻ đường thẳng \({{d}_{1}}//SH\Rightarrow {{d}_{1}}\bot \left( ABCD \right)\) tại O.

Gọi \(G\) là tâm tam giác đều \(ABC,\) qua G kẻ \({{d}_{2}}//HI\Rightarrow {{d}_{2}}\bot \left( ABC \right)\) tại G.

Gọi \(I={{d}_{1}}\cap {{d}_{2}}\Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp chóp \(S.ABCD\).

Ta có : \(IO=GH=\frac{1}{3}SH=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{2};AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=a\).

Xét tam giác vuông AIO có \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

Vậy diện tích mặt cầu cần tính là \(S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.