Tính giá trị của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1,\) biết

Câu hỏi số 243014:

Vận dụng cao

Tính giá trị của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1,\) biết \({{4}^{{{x}^{2}}\,+\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\,-\,1}}={{\log }_{2}}\left( 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right),\) với \(x\ne 0,\) \(-\,1\le y\le \frac{13}{2}.\)

A. \(P=1.\)

B. \(P=2.\)

C. \(P=3.\)

D. \(P=4.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243014

Phương pháp giải

Giải phương trình giả thiết bằng phương pháp đánh giá thông qua bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số theo biến để tìm giá trị cụ thể của x, y và tính giá trị biểu thức

Giải chi tiết

Ta có \({{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-1\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{2}}}}-1=1\Rightarrow {{4}^{{{x}^{2}}\,+\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\,-\,1}}\ge 4\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( y \right)=14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1}\) trên \(\left( -1;\frac{13}{2} \right)\), sử dụng MTCT ta tìm được \(\underset{\left( -1;\frac{13}{2} \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( y \right)=16\Leftrightarrow f\left( y \right)=14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1}\le 16\Rightarrow {{\log }_{2}}\left( 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right)\le 4\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow {4^{{x^2}\, + \,\frac{1}{{{x^2}}}\, - \,1}} = {\log _2}\left[ {14 - \left( {y - 2} \right)\sqrt {y + 1} } \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = \frac{1}{{{x^2}}}\\
y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 1\\
y = 0
\end{array} \right..\)

Vậy giá trị biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1=2.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.