Cho hàm số \(y = {x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x + m + 2\,\,\left( 1 \right)\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

Câu 243107: Cho hàm số \(y = {x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x + m + 2\,\,\left( 1 \right)\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

A. \(m \in \left( {{5 \over 4};{7 \over 5}} \right)\)

B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {{5 \over 4};{7 \over 5}} \right)\)

C. \(m \in \left( {{7 \over 5}; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Câu hỏi : 243107

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tìm điểm cực tiểu của hàm số (1), giải phương trình \({x_{CT}} < 1\).

Đáp án : B
(24) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ: D = R.

Có: \(y' = 3{x^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)x + 2 - m = 0\,\,\left( * \right)\)

Để đồ thị hàm số có cực trị \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 3\left( {2 - m} \right) = 4{m^2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m > {5 \over 4} \hfill \cr   m < - 1 \hfill \cr} \right.\)

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: \(\left\{ \matrix{ {x_1} = {{2m - 1 + \sqrt {4{m^2} - m - 5} } \over 3} \hfill \cr   {x_2} = {{2m - 1 - \sqrt {4{m^2} - m - 5} } \over 3} \hfill \cr} \right.\,\,\left( {{x_2} < {x_1}} \right)\)

Do \(a = 1 > 0 \Rightarrow \) Hàm số có \({x_{CT}} > {x_{CD}} \Rightarrow {x_{CT}} = {{2m - 1 + \sqrt {4{m^2} - m - 5} } \over 3}\)

Hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2m - 1 + \sqrt {4{m^2} - m - 5} } \over 3} < 1 \cr   & \Leftrightarrow 2m - 1 + \sqrt {4{m^2} - m - 5} < 3 \cr   & \Leftrightarrow \sqrt {4{m^2} - m - 5} < 4 - 2m \cr   & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 4 - 2m \ge 0 \hfill \cr   4{m^2} - m - 5 < 4{m^2} - 16m + 16 \hfill \cr} \right. \cr   & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m \le 2 \hfill \cr   15m < 21 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < {7 \over 5} \cr} \)

Kết hợp điều kiện ta có \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {{5 \over 4};{7 \over 5}} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.