Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^3} +

Câu hỏi số 243108:

Vận dụng

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1\) có các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ.

A. \(\left\{ {{1 \over 2};1} \right\}\)

B. \(\left\{ { - {1 \over 2}; - 1} \right\}\)

C. \(\left\{ {1; - 1} \right\}\)

D. \(\left\{ {{1 \over 2}; - {1 \over 2}} \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243108

Phương pháp giải

Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị: \(\Delta > 0\,\,\left( {\Delta ' > 0} \right).\)

Giải phương trình \(y' = 0\), tìm các điểm cực trị của hàm số.

Các điểm cực trị \(A,B\) cách đều gốc tọa độ \( \Leftrightarrow OA = OB\)

Giải chi tiết

TXĐ : D = R.

Có \(y' = - 3{x^2} + 6x + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\)

Để hàm số có cực trị có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 + \left( {{m^2} - 1} \right) = {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.\) Giả sử \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \(y' = 0.\)

\( \Rightarrow \left[ \matrix{ {x_1} = 1 + m \Rightarrow {y_1} = 2{m^3} - 2 \Rightarrow A\left( {1 + m;2{m^3} - 2} \right) \hfill \cr {x_2} = 1 - m \Rightarrow {y_2} = - 2{m^3} - 2 \Rightarrow B\left( {1 - m; - 2{m^3} - 2} \right) \hfill \cr} \right.\)

A, B cách đều gốc tọa độ

\(\eqalign{ & \Rightarrow O{A^2} = O{B^2} \Leftrightarrow {\left( {1 + m} \right)^2} + {\left( {2{m^3} - 2} \right)^2} = {\left( {1 - m} \right)^2} + {\left( { - 2{m^3} - 2} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 4{m^6} - 8{m^3} + 4 = {m^2} - 2m + 1 + 4{m^6} + 8{m^3} + 4 \cr & \Leftrightarrow 16{m^3} = 4m \Leftrightarrow 4{m^3} = m \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr m = \pm {1 \over 2}\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy các giá trị m cần tìm là \(m = \pm {1 \over 2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.