Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1\) có các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ.
Câu 243108: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x - 3{m^2} - 1\) có các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ.
A. \(\left\{ {{1 \over 2};1} \right\}\)
B. \(\left\{ { - {1 \over 2}; - 1} \right\}\)
C. \(\left\{ {1; - 1} \right\}\)
D. \(\left\{ {{1 \over 2}; - {1 \over 2}} \right\}\)
Quảng cáo
Tìm điều kiện để hàm số bậc ba có cực trị: \(\Delta > 0\,\,\left( {\Delta ' > 0} \right).\)
Giải phương trình \(y' = 0\), tìm các điểm cực trị của hàm số.
Các điểm cực trị \(A,B\) cách đều gốc tọa độ \( \Leftrightarrow OA = OB\)
-
Đáp án : D(10) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
TXĐ : D = R.
Có \(y' = - 3{x^2} + 6x + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\)
Để hàm số có cực trị có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 + \left( {{m^2} - 1} \right) = {m^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 0.\) Giả sử \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \(y' = 0.\)
\( \Rightarrow \left[ \matrix{ {x_1} = 1 + m \Rightarrow {y_1} = 2{m^3} - 2 \Rightarrow A\left( {1 + m;2{m^3} - 2} \right) \hfill \cr {x_2} = 1 - m \Rightarrow {y_2} = - 2{m^3} - 2 \Rightarrow B\left( {1 - m; - 2{m^3} - 2} \right) \hfill \cr} \right.\)
A, B cách đều gốc tọa độ
\(\eqalign{ & \Rightarrow O{A^2} = O{B^2} \Leftrightarrow {\left( {1 + m} \right)^2} + {\left( {2{m^3} - 2} \right)^2} = {\left( {1 - m} \right)^2} + {\left( { - 2{m^3} - 2} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + 4{m^6} - 8{m^3} + 4 = {m^2} - 2m + 1 + 4{m^6} + 8{m^3} + 4 \cr & \Leftrightarrow 16{m^3} = 4m \Leftrightarrow 4{m^3} = m \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 0\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr m = \pm {1 \over 2}\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy các giá trị m cần tìm là \(m = \pm {1 \over 2}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
