Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB=AC=a.\) Hình chiếu vuông góc

Câu hỏi số 243904:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB=AC=a.\) Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) trên mặt đáy \(\left( ABC \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và \(SH=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\) Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC.\) Khi đó

A. \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{14}}{4}.\)

B. \(\cos \varphi =\sqrt{7}.\)

C. \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

D. \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{7}}{7}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243904

Phương pháp giải

Tính góc giữa hai đường thẳng bằng tích vô hướng trong không gian.

Giải chi tiết

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,H\) là trung điểm của \(BC.\)

Có \(BC=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Tam giác \(SBH\) vuông tại \(H,\) có \(SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Ta có \(\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\left| \overrightarrow{SB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|.\cos \left( \overrightarrow{SB};\overrightarrow{AC} \right)\) mà:

\(\begin{align} & \ \ \overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}=\left( \overrightarrow{SH}+\overrightarrow{HB} \right).\overrightarrow{AC} \\ & =\overrightarrow{SH}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{CA}\ \ \ \left( do\ \ SH\bot AC \right) \\& =-\,\frac{1}{2}\left| \overrightarrow{CB} \right|.\left| \overrightarrow{CA} \right|.\cos \left( \overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA} \right) \\& =-\,\frac{1}{2}.a\sqrt{2}.a.\cos {{45}^{0}}=-\,\frac{{{a}^{2}}}{2}. \\\end{align}\)

Khi đó \(\cos \left( \overrightarrow{SB};\overrightarrow{AC} \right)=\frac{\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{AC}}{\left| \overrightarrow{SB} \right|.\left| \overrightarrow{AC} \right|}=\frac{-\frac{{{a}^{2}}}{2}}{a\sqrt{2}.a}=-\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Vậy \(\cos \varphi =\frac{\sqrt{2}}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.