Gọi \(M\left( a;b \right)\) là điểm trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y=\frac{1}{x-1}\)

Câu hỏi số 243916:

Thông hiểu

Gọi \(M\left( a;b \right)\) là điểm trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y=\frac{1}{x-1}\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó

A. \(ab=-\,3.\)

B. \(ab=-\,1.\)

C. \(ab=4.\)

D. \(ab=2.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243916

Phương pháp giải

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thuộc đồ thị, tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến và hai trục tọa độ, từ đó suy ra diện tích cần tìm.

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( a;\ \frac{1}{a-1} \right)\) là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C).

Ta có \({y}'=-\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( a \right)=-\frac{1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\) và \(y\left( a \right)=\frac{1}{a-1}.\)

Khi đó, phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y-\frac{1}{a-1}=-\frac{1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)\Leftrightarrow y=-\frac{x}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}+\frac{2a-1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}.\)

\(d\) cắt trục \(Ox\) tại điểm \(A\left( 2a-1;0 \right)\Rightarrow OA=\left| 2a-1 \right|.\) \(d\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(B\left( 0;\frac{2a-1}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}} \right)\Rightarrow OB=\frac{\left| 2a-1 \right|}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}.\)

Diện tích tam giác \(OAB\) là \({{S}_{\Delta \,OAB}}=\frac{1}{2}.OA.OB=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{2a-1}{a-1} \right)}^{2}}=2\Rightarrow \left[ \begin{align} & \frac{2a-1}{a-1}=2 \\ & \frac{2a-1}{a-1}=-\,2 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow a=\frac{3}{4}.\)

Suy ra \(b=\frac{1}{a-1}=\frac{1}{\frac{3}{4}-1}=-\,4.\) Vậy tích \(ab=\frac{3}{4}.\left( -\,4 \right)=-\,3.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.