Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến điểm C trên một hòn

Câu hỏi số 243931:

Vận dụng cao

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến điểm C trên một hòn đảo. Khoảng cách từ C đến B là 1 \(km.\) Khoảng cách từ B đến A là 4 \(km.\) Mỗi \(km\) dây điện đặt dưới nước chi phí là 100 triệu đồng, còn đặt dưới đất là 80 triệu đồng. Người ta mắc dây diện từ A qua điểm S trên bờ cách A một khoảng \(x\) rồi đến C. Chọn giá trị của \(x\) để chi phí tốn ít nhất trong các phương án sau.

A. \(x=\frac{6}{3}\,\,km.\)

B. \(x=\frac{5}{3}\,\,km.\)

C. \(x=\frac{8}{3}\,\,km.\)

D. \(x=\frac{7}{3}\,\,km.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243931

Phương pháp giải

Đặt SA = x, xây dựng hàm số chứa biến x từ giả thiết, khảo sát hàm số để tìm x

Giải chi tiết

Đặt SA = x (km) \(\left( 0<x<4 \right)\)

Độ dài đoạn thẳng \(SB\) là \(SB=AB-SA=4-x\,\,km.\)

Độ dài đoạn thẳng \(SC\) là \(SC=\sqrt{B{{C}^{2}}+S{{B}^{2}}}=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( 4-x \right)}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}\,\,km.\)

Do đó, chi phí để mắc dây diện từ \(C\,\,\xrightarrow{{}}\,\,A\) là \(T=\)\(100\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}+80x\) triệu đồng.

Xét hàm số \(f\left( x \right)=10\sqrt{{{x}^{2}}-8x+17}+8x\) trên khoảng \(\left( 0;4 \right),\) có

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 100.\frac{{2x - 8}}{{2\sqrt {{x^2} - 8x + 17} }} + 80 = \frac{{100\left( {x - 4} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 17} }} + 80\\
f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 100\left( {x - 4} \right) + 80\sqrt {{x^2} - 8x + 17} = 0\\
\Leftrightarrow 4\sqrt {{x^2} - 8x + 17} = 5\left( {4 - x} \right)\\
\Leftrightarrow 16\left( {{x^2} - 8x + 17} \right) = 25{x^2} - 200x + 400\\
\Leftrightarrow 9{x^2} - 72x + 128 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{8}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\\
x = \frac{{16}}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(\min f\left( x \right)=f\left( \frac{8}{3} \right).\) Vậy giá trị cần tìm là \(x=\frac{8}{3}\,\,km.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.