Cho biểu thức \(A = 2{\sin ^6}x + 2{\cos ^6}x - {\sin ^4}x - {\cos ^4}x + \cos 2x\) có giá trị lớn nhất và

Câu hỏi số 243975:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(A = 2{\sin ^6}x + 2{\cos ^6}x - {\sin ^4}x - {\cos ^4}x + \cos 2x\) có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt là M, m. Khi đó, \(M + m = ?\)

A. \({3 \over 4}\)

B. 2

C. \({7 \over 4}\)

D. 1

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243975

Phương pháp giải

\(\eqalign{ & {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} - 3\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right){\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - {3 \over 4}{\sin ^2}2x = {1 \over 4} + {3 \over 4}{\cos ^2}2x \cr & {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x = {1 \over 2} + {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr} \)

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & A = 2{\sin ^6}x + 2{\cos ^6}x - {\sin ^4}x - {\cos ^4}x + \cos 2x = 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right) - \left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) + \cos 2x \cr & = 2\left( {{1 \over 4} + {3 \over 4}{{\cos }^2}2x} \right) - \left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}{{\cos }^2}2x} \right) + \cos 2x = {\cos ^2}2x + \cos 2x \cr} \)

Đặt \(\cos 2x = t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Khi đó, \(A = {t^2} + t,\,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\). Ta có:

\(A = {t^2} + t = {\left( {t + {1 \over 2}} \right)^2} - {1 \over 4} \ge - {1 \over 4}\,\,\,\, \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} A = - {1 \over 4}\) khi và chỉ khi \(t = - {1 \over 2} \Rightarrow m = - {1 \over 4}\).

\(A = {t^2} + t = {t^2} - t + 2t - 2 + 2 = t(t - 1) + 2(t - 1) + 2 = (t - 1)(t + 2) + 2 \le 2\) ( vì \(t \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t - 1 \le 0,\,\,t + 2 > 0\))

\( \Rightarrow \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} A = 2\) khi và chỉ khi \(t = 1 \Rightarrow M = 2\)

Vậy, \(M + m = 2 + {{ - 1} \over 4} = {7 \over 4}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.