Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R, phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi

Câu hỏi số 248276:

Vận dụng cao

Với một đĩa phẳng hình tròn bằng thép bán kính R, phải làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của đĩa này và gấp phần còn lại thành một hình nón. Gọi độ dài cung tròn của hình quạt còn lại là x. Tìm x để thể tích khối nón tạo thành nhận giá trị lớn nhất.

A. \(x=\frac{2\pi R\sqrt{6}}{3}\)

B. \(x=\frac{2\pi R\sqrt{2}}{3}\)

C. \(x=\frac{2\pi R\sqrt{3}}{3}\)

D. \(x=\frac{\pi R\sqrt{6}}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248276

Giải chi tiết

Gọi r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Thể tích khối nón là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}\), với h là chiều cao khối nón.

Ta có \({{r}^{4}}\left( {{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)=4.\frac{{{r}^{2}}}{2}.\frac{{{r}^{2}}}{2}.\left( {{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)\le \frac{4}{27}{{\left( \frac{{{r}^{2}}}{2}+\frac{{{r}^{2}}}{2}+{{l}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}^{3}}=\frac{4}{27}{{l}^{6}}\)

Suy ra \({{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}}\le \frac{2{{l}^{3}}}{3\sqrt{3}}\Rightarrow {{V}_{\left( N \right)}}\le \frac{2\pi {{l}^{3}}}{9\sqrt{3}}.\) Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \frac{{{r}^{2}}}{2}={{l}^{2}}-{{r}^{2}}\Leftrightarrow {{l}^{2}}=\frac{3{{r}^{2}}}{2}\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mà x là chu vi đường tròn đáy hình nón \(\Rightarrow x=2\pi r\) và đường sinh \(l=R\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \({{R}^{2}}=\frac{3}{2}.{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{8{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}}{3}\Rightarrow x=\frac{2\pi R\sqrt{6}}{3}.\)

Đáp án A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.