Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của \(a\) để đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+(a+10){{x}^{2}}-x+1\) cắt

Câu hỏi số 248919:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của \(a\) để đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+(a+10){{x}^{2}}-x+1\) cắt trục hoành tại đúng một điểm?

A. 9

B. 8

C. 11

D. 10

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248919

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({{x}^{3}}+\left( a+10 \right){{x}^{2}}-x+1=0\), cô lập a, đưa phương trình về dạng \(a=f\left( x \right)\), phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \) đường thẳng \(y=a\) cắt đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại một điểm duy nhất, lập BBT và kết luận.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \({{x}^{3}}+\left( a+10 \right){{x}^{2}}-x+1=0\) \(\left( * \right).\)

Dễ thấy \(x=0\) không là nghiệm của phương trình \(\left( * \right).\) Khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow -\,a-10=\frac{{{x}^{3}}-x+1}{{{x}^{2}}}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}-x+1}{{{x}^{2}}}=x-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}},\) có \({f}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+x-2}{{{x}^{3}}}=0\Leftrightarrow x=1.\)

Tính \(\underset{x\,\to \,-\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\,\infty ;\,\,\underset{x\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\,\infty ;\,\,\underset{x\,\to \,{{0}^{\,-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\,\infty ;\,\,\underset{x\,\to \,{{0}^{\,+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\,\infty ;\,\,f\left( 1 \right)=1.\)

BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(f\left( x \right)=-\,a-10\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \,\,-a-10<1\Leftrightarrow a>-\,11.\)

Kết hợp với \(a\) là số nguyên âm \(\Rightarrow \) Có 10 giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.