Giả sử \(a,b\) là các số thực sao cho \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}\) đúng với mọi

Câu hỏi số 248920:

Vận dụng cao

Giả sử \(a,b\) là các số thực sao cho \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}\) đúng với mọi các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\log (x+y)=z\) và \(\log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}})=z+1.\) Giá trị của \(a+b\) bằng

A. \(-\frac{31}{2}.\)

B. \(-\frac{25}{2}.\)

C. \(\frac{31}{2}.\)

D. \(\frac{29}{2}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248920

Phương pháp giải

\(\left\{ \begin{array}{l}
\log \left( {x + y} \right) = z\\
\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = {10^z}\\
{x^2} + {y^2} = {10^{z\, + \,1}} = {10.10^z}
\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 10\left( {x + y} \right)\)

Thay \({{10}^{z}}=x+y\) vào \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3x}}+b{{.10}^{2x}}\), biến đổi, thế và đồng nhất hệ số.

Giải chi tiết

Ta có

Khi đó \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}=a{{.10}^{3z}}+b{{.10}^{2z}}\Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)=a.{{\left( {{10}^{z}} \right)}^{3}}+b.{{\left( {{10}^{z}} \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow \left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)=a.{{\left( x+y \right)}^{3}}+b.{{\left( x+y \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=a.{{\left( x+y \right)}^{2}}+b.\left( x+y \right)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}=a.\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)+\frac{b}{10}.\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=\left( a+\frac{b}{10} \right).\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2a.xy\)

Đồng nhất hệ số, ta được\(\left\{ \begin{array}{l}
a + \frac{b}{{10}} = 1\\
2a = - \,1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = - \frac{1}{2}\\
b = 15
\end{array} \right..\) Vậy \(a+b=\frac{29}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.