Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)={{(x-1)}^{2}}({{x}^{2}}-2x),\,\) với mọi \(x\in \mathbb{R}.\)

Câu hỏi số 248918:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)={{(x-1)}^{2}}({{x}^{2}}-2x),\,\) với mọi \(x\in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y=f({{x}^{2}}-8x+m)\) có \(5\) điểm cực trị?

A. 16

B. 17

C. 15

D. 18

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:248918

Phương pháp giải

Đặt \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}=8x+m \right)\), tính \(g'\left( x \right)\) và giải phương trình \(g'\left( x \right)=0\), tìm điều kiện để phương trình có 5 nghiệm phân biệt và qua các nghiệm đó \(g'\left( x \right)\) đổi dấu.

Giải chi tiết

Ta có \({g}'\left( x \right)=\left( 2x-8 \right){f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=4 \\ & {f}'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right..\,\,\left( I \right)\)

Mà \({f}'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}.x\left( x-2 \right);\,\,\forall x\in R.\)

Suy ra \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-8x+m-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)\left( {{x}^{2}}-8x+m-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}^{2}}-8x+m-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & {{x}^{2}}-8x+m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & {{x}^{2}}-8x+m-2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.\)

Qua các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) (nếu có) thì \(g'\left( x \right)\) đều không đổi dấu. Do đó ta không xét phương trình \(\left( 1 \right)\)

Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right);\left( 3 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 4.

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 16-m>0 \\ & 16-m+2>0 \\ & -16+m\ne 0 \\ & -18+m\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m<16\)

Kết hợp \(m\in {{Z}^{+}}\)\(\Rightarrow \)có 15 giá trị \(m\) cần tìm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.