Với \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{n\,-\,4}^{n\,-\,6}+nA_{n}^{2}=454,\) hệ số của số

Câu hỏi số 250203:

Thông hiểu

Với \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{n\,-\,4}^{n\,-\,6}+nA_{n}^{2}=454,\) hệ số của số hạng chứa \({{x}^{4}}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({{\left( \frac{2}{x}-{{x}^{3}} \right)}^{n}}\) với \(x\ne 0\) bằng

\(1792.\)

\(-\,1792.\)

\(786.\)

D. \(1692.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250203

Phương pháp giải

Tìm n dựa vào các công thức tổ hợp, chỉnh hợp và áp dụng công thức tổng quát nhị thức Newtơn để tìm hệ số của số hạng.

Giải chi tiết

Điều kiện : \(n\ge 6;\ \ n\in N.\)

Ta có \(C_{n\,-\,4}^{n\,-\,6}+nA_{n}^{2}=454\Leftrightarrow \frac{\left( n-4 \right)!}{2!.\left( n-6 \right)!}+n.\frac{n!}{\left( n-2 \right)!}=454\Leftrightarrow \frac{\left( n-4 \right)\left( n-5 \right)}{2}+{{n}^{2}}\left( n-1 \right)=454\)

\(\begin{align} \Leftrightarrow \left( n-4 \right)\left( n-5 \right)+2{{n}^{2}}\left( n-1\right)=908\Leftrightarrow {{n}^{2}}-9n+20+2{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}-908=0 \\ \Leftrightarrow 2{{n}^{3}}-{{n}^{2}}-9n-888=0\,\,\xrightarrow{{}}\,\,n=8. \\ \end{align}\)

Với \(n=8,\) xét \({{\left( \frac{2}{x}-{{x}^{3}} \right)}^{n}}={{\left( \frac{2}{x}-{{x}^{3}} \right)}^{8}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{8}{C_{8}^{k}}.{{\left( \frac{2}{x} \right)}^{8\,-\,k}}.{{\left( -\,{{x}^{3}} \right)}^{k}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{8}{C_{8}^{k}}{{.2}^{8\,-\,k}}.{{\left( -\,1 \right)}^{k}}.{{x}^{4k\,-\,8}}.\)

Hệ số của \({{x}^{4}}\) ứng với \(4k-8=4\Leftrightarrow k=3.\) Vậy hệ số cần tìm là \(C_{8}^{3}{{.2}^{5}}.{{\left( -\,1 \right)}^{3}}=-\,1792.\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.