Cho các số phức \({{z}_{1}}=-\,2+i,\,\,{{z}_{2}}=2+i\) và số phức \(z\) thỏa mãn \({{\left| z-{{z}_{1}}

Câu hỏi số 250229:

Vận dụng

Cho các số phức \({{z}_{1}}=-\,2+i,\,\,{{z}_{2}}=2+i\) và số phức \(z\) thỏa mãn \({{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=16.\) Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|.\) Giá trị biểu thức \({{M}^{2}}-{{m}^{2}}\) bằng

15.

D. 11.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250229

Phương pháp giải

Đặt \(z=x+yi,\) dựa vào giả thiết và biểu thức P đưa về tìm max – min của biểu thức chứa hai biến, sử dụng lượng giác hóa và bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm max – min

Giải chi tiết

Đặt \(z=x+yi\,\,\,\,\left( x,\,\,y\in \mathbb{R} \right),\) khi đó \({{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=16\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=16\)

\(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+4+2{{y}^{2}}-4y+2=16\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y-3=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} x=2\sin t \\ y=2\cos t+1 \\ \end{align} \right..\)

Khi đó \({{\left| z \right|}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4{{\sin }^{2}}t+{{\left( 2\cos t+1 \right)}^{2}}=4\cos t+5\) mà \(\cos t\in \left[ -\,1;1 \right]\)\(\Rightarrow \,\,4\cos t+5\in \left[ 1;9 \right].\)

Vậy \(1\le \left| z \right|\le 3\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\left\{ \begin{align} M=3 \\ m=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{M}^{2}}-{{m}^{2}}=8.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.