Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Hình chiếu của \(S\) lên mặt

Câu hỏi số 250368:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm tam giác \(ABD.\) Cạnh bên \(SD\) tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}.\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)

\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}.\)

\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{27}.\)

\(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}.\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}}{3}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250368

Phương pháp giải

Xác định hình chiếu của đỉnh, xác định góc để tìm chiều cao và áp dụng công thức thể tích

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD,\) \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABD.\)

Ta có \(SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \,\,\widehat{SD;\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SD;HD \right)}=\widehat{SDH}={{60}^{0}}.\)

ABCD là hình vuông cạnh a nên \(OD=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(HO=\frac{1}{3}AO=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}\)

Tam giác \(HDO\) vuông tại \(O,\) có \(HD=\sqrt{O{{D}^{2}}+O{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{3}.\)

Tam giác \(SHD\) vuông tại \(H,\) có \(\tan \widehat{SDH}=\frac{SH}{HD}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{15}}{3}.\)

Vậy thể tích cần tính là \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}.\frac{a\sqrt{15}}{3}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{9}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.