Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một cái

Câu hỏi số 250401:

Vận dụng cao

Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi \(x\) là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm \(x\) để thể tích phễu lớn nhất ?

\(\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi .\)

\(\frac{\pi }{3}.\)

\(\frac{\pi }{2}.\)

D. \(\frac{\pi }{4}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:250401

Phương pháp giải

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón và áp dụng công thức tính độ dài cùng tròn

Giải chi tiết

Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của phễu hình nón.

Thể tích của khối nón là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}},\) với \(l\) là độ dài đường sinh và \(l=R\) bán kính tấm bìa hình tròn \(\Rightarrow \,\,V=\frac{\pi }{3}.{{r}^{2}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\frac{\pi }{3}\,\,\times \,\,{{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}\) vì chuẩn hóa \(R=1.\)

Xét hàm số \(f\left( r \right)={{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}\) trên \(\left( 0;1 \right),\) có \({f}'\left( r \right)=\frac{2r-3{{r}^{3}}}{\sqrt{1-{{r}^{2}}}};\,\,\forall r\in \left( 0;1 \right).\)

Ta có \({f}'\left( r \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} 0<r<1 \\ 2r-3{{r}^{3}}=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow r=\frac{\sqrt{6}}{3}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\max f\left( r \right)=f\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}.\)

Do đó \({{V}_{\max }}=\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}.\) Dấu \(''\,\,=\,\,\,''\) xảy ra khi và chỉ khi \(r=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)

Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chính là chu vi đáy hình nón \(\Rightarrow \,\,x.R=\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}\Rightarrow \,\,x=\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.