Bạn Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình tròn đó thành một cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ không đáng kể). Gọi \(x\) là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm \(x\) để thể tích phễu lớn nhất ?

Câu 250401:

\(\frac{2\sqrt{6}}{3}\pi .\)

\(\frac{\pi }{3}.\)

\(\frac{\pi }{2}.\)

D. \(\frac{\pi }{4}.\)

Câu hỏi : 250401

Phương pháp giải:

Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối nón và áp dụng công thức tính độ dài cùng tròn

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của phễu hình nón.

Thể tích của khối nón là \(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{\pi }{3}{{r}^{2}}\sqrt{{{l}^{2}}-{{r}^{2}}},\) với \(l\) là độ dài đường sinh và \(l=R\) bán kính tấm bìa hình tròn \(\Rightarrow \,\,V=\frac{\pi }{3}.{{r}^{2}}\sqrt{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}=\frac{\pi }{3}\,\,\times \,\,{{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}\) vì chuẩn hóa \(R=1.\)

Xét hàm số \(f\left( r \right)={{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}\) trên \(\left( 0;1 \right),\) có \({f}'\left( r \right)=\frac{2r-3{{r}^{3}}}{\sqrt{1-{{r}^{2}}}};\,\,\forall r\in \left( 0;1 \right).\)

Ta có \({f}'\left( r \right)=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} 0<r<1 \\ 2r-3{{r}^{3}}=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow r=\frac{\sqrt{6}}{3}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,\max f\left( r \right)=f\left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}.\)

Do đó \({{V}_{\max }}=\frac{2\pi \sqrt{3}}{27}.\) Dấu \(''\,\,=\,\,\,''\) xảy ra khi và chỉ khi \(r=\frac{\sqrt{6}}{3}.\)

Mà độ dài cung phần cuộn làm phễu chính là chu vi đáy hình nón \(\Rightarrow \,\,x.R=\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}\Rightarrow \,\,x=\frac{2\pi \sqrt{6}}{3}.\)

Chọn A

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.