Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+\sqrt{2abc}=2\). Chứng minh rằng \(\sqrt{a\left(

Câu hỏi số 251343:

Vận dụng cao

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+\sqrt{2abc}=2\). Chứng minh rằng

\(\sqrt{a\left( 2-b \right)\left( 2-c \right)}+\sqrt{b\left( 2-c \right)\left( 2-a \right)}+\sqrt{c\left( 2-a \right)\left( 2-b \right)}=\sqrt{8}+\sqrt{abc}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251343

Phương pháp giải

+) Chứng minh \(\sqrt{a\left( 2-b \right)\left( 2-c \right)}=a\sqrt{2}+\sqrt{abc}\) . Tương tự với hai căn thức còn lại.

+) Biến đổi và rút gọn.

Giải chi tiết

Có \(a+b+c+\sqrt{2abc}=2\Rightarrow 2-b-c=a+\sqrt{2abc}\). Do đó

\(\begin{align} & \sqrt{a\left( 2-b \right)\left( 2-c \right)}=\sqrt{a\left( 4-2b-2c+bc \right)}=\sqrt{a\left( 2a+2\sqrt{2abc}+bc \right)}=\sqrt{2{{a}^{2}}+2a\sqrt{2abc}+abc} \\ & =\sqrt{{{\left( a\sqrt{2}+\sqrt{abc} \right)}^{2}}}=a\sqrt{2}+\sqrt{abc} \\ \end{align}\)

Ta có 2 đẳng thức tương tự. Từ đó suy ra

\(\begin{align} & \sqrt{a\left( 2-b \right)\left( 2-c \right)}+\sqrt{b\left( 2-c \right)\left( 2-a \right)}+\sqrt{c\left( 2-a \right)\left( 2-b \right)}=\sqrt{2}\left( a+b+c \right)+3\sqrt{abc} \\ & =\sqrt{2}\left( 2-\sqrt{2abc} \right)+3\sqrt{abc} \\ & =2\sqrt{2}-2\sqrt{abc}+3\sqrt{abc} \\ & =\sqrt{8}+\sqrt{abc} \\ \end{align}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link