Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) với đường cao \(AH=R\sqrt{2}\). Gọi D, K lần lượt là
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) với đường cao \(AH=R\sqrt{2}\). Gọi D, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh rằng \({{S}_{ADK}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}\), (với \({{S}_{ADK}};{{S}_{ABC}}\) lần lượt là diện tích của hai tam giác ADK và ABC)
Quảng cáo
+) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác
\(\left\{ \begin{align} & {{S}_{ADK}}=\frac{1}{2}AD.AK.\sin \widehat{DAK} \\ & {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{{{S}_{ADK}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AD.AK}{AB.AC}\)
+) Sử dụng tam giác đồng dạng tính tích \(AB.AC\)
+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính tích \(AD.AK\)
\(\begin{align} & {{S}_{ADK}}=\frac{1}{2}AD.AK.\sin \widehat{DAK} \\ & {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC} \\ & \Rightarrow \frac{{{S}_{ADK}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AD.AK}{AB.AC} \\ \end{align}\)
Dựng đường kính AE của (O) ta có
góc ACE = góc AHB = 90o
góc AEC = góc ABH (cùng chắn cung AC)
\(\begin{align} & \Rightarrow \Delta ABH\backsim \Delta AEC\text{ }\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AH}{AC} \\ & \Rightarrow AB.AC=AE.AH=2R.R\sqrt{2}=2{{R}^{2}}\sqrt{2} \\ \end{align}\)
Các tam giác vuông AHB và AHC có D và K lần lượt là chân đường cao hạ từ đỉnh góc vuông nên ta có
\(\begin{align} & A{{H}^{2}}=AK.AC \\ & A{{H}^{2}}=AD.AB \\\end{align}\)
\(\begin{align} & \Rightarrow A{{H}^{4}}=AD.AK.AB.AC\Rightarrow AD.AK=\frac{A{{H}^{4}}}{AB.AC}=\frac{{{\left( R\sqrt{2} \right)}^{4}}}{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}={{R}^{2}}\sqrt{2} \\ & \Rightarrow \frac{{{S}_{ADK}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AD.AK}{AB.AC}=\frac{{{R}^{2}}\sqrt{2}}{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}=\frac{1}{2} \\\end{align}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
