Cho \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}dx}{1+{{e}^{-x}}}},\,\,n\in N\). Đặt \({{u}_{n}}=1\left(

Câu hỏi số 251950:

Vận dụng cao

Cho \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}dx}{1+{{e}^{-x}}}},\,\,n\in N\). Đặt \({{u}_{n}}=1\left( {{I}_{1}}+{{I}_{2}} \right)+2\left( {{I}_{2}}+{{I}_{3}} \right)+3\left( {{I}_{3}}+{{I}_{4}} \right)+...+n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n1}} \right)-n\). Biết \(\lim {{u}_{n}}=L.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

\(L\in \left( -2;-1 \right)\)

\(L\in \left( -1;0 \right)\)

\(L\in \left( 1;2 \right)\)

D. \(L\in \left( 0;1 \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251950

Phương pháp giải

Tính tổng quát \(n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n+1}} \right)\) bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính \({{u}_{n}}\) và sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn \({{u}_{n}}\).

Giải chi tiết

Ta có: \({{I}_{n}}+{{I}_{n+1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}dx}{1+{{e}^{-x}}}}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-\left( n+1 \right)x}}dx}{1+{{e}^{-x}}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}\left( 1+{{e}^{-x}} \right)dx}{1+{{e}^{-x}}}}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-nx}}dx}=\left. \frac{-{{e}^{-nx}}}{n} \right|_{0}^{1}=\frac{-{{e}^{-n}}+1}{n}\)

\(\begin{align} \Rightarrow n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n+1}} \right)=1-{{e}^{-n}} \\ \Rightarrow {{u}_{n}}=1\left( {{I}_{1}}+{{I}_{2}} \right)+2\left( {{I}_{2}}+{{I}_{3}} \right)+3\left( {{I}_{3}}+{{I}_{4}} \right)+...+n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n+1}} \right)-n \\ \,\,\,\,\,\,{{u}_{n}}=1-{{e}^{-1}}+1-{{e}^{-2}}+...+1-{{e}^{-n}}-n=-\left( \frac{1}{e}+\frac{1}{{{e}^{2}}}+...+\frac{1}{{{e}^{n}}} \right)=-\frac{\frac{1}{e}\left( 1-\frac{1}{{{e}^{n}}} \right)}{1-\frac{1}{e}}=\frac{\frac{1}{{{e}^{n}}}-1}{e-1} \\ \Rightarrow L=\lim {{u}_{n}}=\frac{-1}{e-1}\approx -0,58\in \left( -1;0 \right) \\ \end{align}\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.