Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho \(S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{2}^{0}+...+C_{n}^{0} \right)+\left(

Câu hỏi số 251960:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho

\(S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{2}^{0}+...+C_{n}^{0} \right)+\left( C_{1}^{1}+C_{2}^{1}+...+C_{n}^{1} \right)+...+\left( C_{n-1}^{n-1}+C_{n}^{n-1} \right)+C_{n}^{n}\)

Là một số có 1000 chữ số.

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:251960

Phương pháp giải

+) Nhóm các tổ hợp có chỉ số dưới bằng nhau.

+) Sử dụng tổng \({{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...C_{n}^{n}={{2}^{n}}\)

+) Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.

+) Để S là số có \(1000\) chữ số thì \({{10}^{999}}\le S\le {{10}^{1000}}\)

Giải chi tiết

\(\begin{align} S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{2}^{0}+...+C_{n}^{0} \right)+\left( C_{1}^{1}+C_{2}^{1}+...+C_{n}^{1} \right)+...+\left( C_{n-1}^{n-1}+C_{n}^{n-1} \right)+C_{n}^{n} \\ S=2+\left( C_{1}^{0}+C_{1}^{1} \right)+\left( C_{2}^{0}+C_{2}^{1}+C_{2}^{2} \right)+\left( C_{3}^{0}+C_{3}^{1}+C_{3}^{2}+C_{3}^{3} \right)+...+\left( C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n} \right) \\ \end{align}\)

Xét tổng \({{\left( 1+1 \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...C_{n}^{n}={{2}^{n}}\)

Từ đó ta có: \(S=2+{{2}^{1}}+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+...+{{2}^{n}}=2+\frac{2\left( 1-{{2}^{n}} \right)}{1-2}=2+2\left( {{2}^{n}}-1 \right)={{2}^{n+1}}\)

Để S là số có \(1000\) chữ số thì \({{10}^{999}}\le {{2}^{n+1}}\le {{10}^{1000}}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{10}^{999}}-1\le n\le {{\log }_{2}}{{10}^{1000}}-1\Leftrightarrow 3317,6\le n\le 3320,9\)

n là số nguyên dương \(\Rightarrow n\in \left\{ 3318;3319;3320 \right\}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.