Biết \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{(x\sin x+\cos x)}^{2}}}=-\frac{a\pi }{b+c\pi

Câu hỏi số 252112:

Vận dụng cao

Biết \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{(x\sin x+\cos x)}^{2}}}=-\frac{a\pi }{b+c\pi \sqrt{3}}+d\sqrt{3}}\), với \(a,b,c,d\in {{Z}^{+}}\). Tính \(P=a+b+c+d\).

A. 9

B. 10

C. 8

D. 7

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252112

Phương pháp giải

Nhân cả tử và mẫu với \(\cos x\) , sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết

\(\begin{align} \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{{{x}^{2}}dx}{{{(x\sin x+\cos x)}^{2}}}=}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{x}{\cos x}.\frac{x\cos x\,dx}{{{(x\sin x+\cos x)}^{2}}}} \\ =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{x}{\cos x}.\frac{\,d(x\sin x+\cos x)}{{{(x\sin x+\cos x)}^{2}}}=}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{x}{\cos x}d\left( \frac{1}{x\sin x+\cos x} \right)} \\ =-\frac{x}{\cos x}.\left. \frac{1}{x\sin x+\cos x} \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{x\sin x+\cos x}d\left( \frac{x}{\cos x} \right)} \\ =-\left. \frac{x}{\cos x\left( x\sin x+\cos x \right)} \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx} \\ =-\left. \frac{x}{\cos x\left( x\sin x+\cos x \right)} \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}}+\tan \,\left. x \right|_{0}^{\frac{\pi }{3}} \\ =-\frac{\frac{\pi }{3}}{\frac{1}{2}.\left( \frac{\pi }{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \right)}+\sqrt{3} \\ =-\frac{4\pi }{\pi \sqrt{3}+3}+\sqrt{3}=-\frac{a\pi }{b+c\pi \sqrt{3}}+d\sqrt{3},\,\,\left( a,b,c,d\in {{Z}^{+}} \right) \\ \Rightarrow a=4,\,\,b=3,\,\,c=1,\,\,d=1 \\ \Rightarrow a+b+c+d=9 \\ \end{align}\)

Chọn: A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.