Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB=a,\,\,AD=2a\); \(SA\) vuông góc với đáy

Câu hỏi số 252548:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB=a,\,\,AD=2a\); \(SA\) vuông góc với đáy \(ABCD,\,\,SC\) hợp với đáy một góc \(\alpha \) và \(\tan \alpha =\frac{\sqrt{10}}{5}\). Khi đó, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là:

A. \(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\).

B. \(\frac{2a}{3}\).

C. \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

D. \(\frac{a}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252548

Phương pháp giải

- Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Giải chi tiết

ABCD là hình chữ nhật

\(\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2a)}^{2}}}=a\sqrt{5}\)

Vì \(SA\bot \left( ABCD \right)\) nên \(\left( \widehat{SC;(ABCD)} \right)=\left( \widehat{SC;AC} \right)=\widehat{SCA}\)\(\Rightarrow \tan \widehat{SCA}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow \frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow \frac{SA}{a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Leftrightarrow SA=a\sqrt{2}\)

Ta có: \(AB//CD,\,\,CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow d(B;(SCD))=d(A;(SCD))\)

Kẻ \(AH\bot SD,\,H\in SD\).

Ta có: \(\left\{ \begin{align} CD\bot SA,\,\,(do\,\,SA\bot (ABCD)) \\ CD\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot (SAD)\Rightarrow CD\bot AH\)

Mà \(AH\bot SD\Rightarrow AH\bot (SCD)\Rightarrow d(A,(SCD))=AH\)

Tam giác SAD vuông tại A, \(AH\bot SD\Rightarrow \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{(2a)}^{2}}}=\frac{3}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

\(\Rightarrow d(B;(SCD))=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.