Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\)để hàm số

Câu hỏi số 254595:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\)để hàm số \(y=\frac{3}{4}{{x}^{4}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-\frac{1}{4{{x}^{4}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right).\)

\(1.\)

\(2.\)

\(3.\)

D. \(4.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254595

Phương pháp giải

Để đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\Rightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\) và \(y'=0\) tại hữu hạn điểm.

Đưa bất phương trình về dạng \(f\left( x \right)\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Ta có \(y' = 3{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x - \frac{1}{4}.\frac{{ - 4}}{{{x^5}}} = 3{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x + \frac{1}{{{x^5}}}\)

Để đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(y' = 0\) tại hữu hạn điểm.

\(\begin{array}{l}\Rightarrow 3{x^3} - 2\left( {m - 1} \right)x +\frac{1}{{{x^5}}} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\\Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {m - 1} \right) + \frac{1}{{{x^6}}} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\\Leftrightarrow f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{1}{{{x^6}}} + 2 \ge 2m\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\\Leftrightarrow 2m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 6x - \frac{6}{{{x^7}}} = 0\Leftrightarrow {x^8} = 1 \Rightarrow x = \pm 1\\
f\left( 1 \right) = 6;\,\,f\left( { - 1} \right) = 6\end{array}\)

Lập BBT ta tìm được

\(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 6 \Rightarrow 2m \le 6 \Rightarrow m \le 3\)

Kết hợp điều kiện m là số nguyên dương \(\Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.