Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+mx+1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu giá trị của

Câu hỏi số 255261:

Vận dụng

Cho hàm số \(y=-{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+mx+1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu giá trị của m để tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của \(\left( C \right)\) đi qua gốc tọa độ O ?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255261

Phương pháp giải

+) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc \(k=y'\), tìm x để y’ đạt GTLN.

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ vừa tìm được, cho đường thẳng tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ, tìm m.

Giải chi tiết

Ta có \(k=y'=-3{{x}^{2}}+2mx+m\) đạt GTLN tại \(x=\frac{2m}{6}=\frac{m}{3}\Rightarrow y\left( \frac{m}{3} \right)=\frac{-{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{3}}}{9}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1=\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1\) \(\Rightarrow y'\left( \frac{m}{3} \right)=-3.\frac{{{m}^{2}}}{9}+2m.\frac{m}{3}+m=\frac{{{m}^{2}}}{3}+m\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=\frac{m}{3}\) là: \(y=\left( \frac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( x-\frac{m}{3} \right)+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1\,\,\left( d \right)\)

Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ \(\begin{align} & \Rightarrow 0=\left( \frac{{{m}^{2}}}{3}+m \right)\left( -\frac{m}{3} \right)+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1 \\ & \Leftrightarrow 0=-\frac{{{m}^{3}}}{9}-\frac{{{m}^{2}}}{3}+\frac{2{{m}^{3}}}{27}+\frac{{{m}^{2}}}{3}+1 \\ & \Leftrightarrow \frac{{{m}^{3}}}{27}=1\Leftrightarrow m=3 \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.