Cho phương trình \({{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right).{{\log }_{5}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}

Câu hỏi số 255262:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({{\log }_{2}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right).{{\log }_{5}}\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{\log }_{m}}\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương khác 1 của m sao cho phương trình đã cho có nghiệm x lớn hơn 2 ?

A. Vô số

B. 3

C. 2

D. 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255262

Phương pháp giải

+) Đặt \(t\left( x \right)=x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{t}\), tìm miền giá trị của t ứng với \(x>2\).

+) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm t thuộc khoảng vừa tìm được.

Giải chi tiết

Ta có \(\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}-1} \right)={{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-1 \right)=1\)

Đặt \(t\left( x \right)=x-\sqrt{{{x}^{2}}-1}\,\,\left( t>0 \right)\Rightarrow x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}=\frac{1}{t}\)

Ta có \(t'\left( x \right)=1-\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x=0\)

Với \(x>2\) ta có \(\sqrt{{{x}^{2}}-1}<\sqrt{{{x}^{2}}}=x\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x<0\Rightarrow t'\left( x \right)<0\) \(\Rightarrow x>2\Rightarrow t\in \left( 0;2-\sqrt{3} \right)\)

Khi đó phương trình trở thành

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,{\log _2}t.{\log _5}t = {\log _m}{t^{ - 1}} = - {\log _m}t\,\,\,\left( * \right)\\
\Leftrightarrow {\log _2}t.{\log _5}t + {\log _m}t = 0\\
\Leftrightarrow {\log _2}t.{\log _5}t + {\log _m}2.{\log _2}t = 0\\
\Leftrightarrow {\log _2}t\left( {{{\log }_5}t + {{\log }_m}2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _2}t = 0\\
{\log _5}t + {\log _m}2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\,\,\left( {ktm} \right)\\
{\log _5}t = - {\log _m}2 = {\log _m}\frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = {5^{{{\log }_m}\frac{1}{2}}}
\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm \(x>2\) thì phương trình (*) có nghiệm \(t\in \left( 0;2-\sqrt{3} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.