Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -1;3;-2 \right);\,\,B\left( -3;7;-18 \right)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 255260:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -1;3;-2 \right);\,\,B\left( -3;7;-18 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x-y+z+1=0\). Điểm \(M\left( a;b;c \right)\) thuộc (P) sao cho mặt phẳng (ABM) vuông góc với (P) và \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}=246\). Tính \(S=a+b+c\).

A. 0

B. -1

C. 10

D. 13

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255260

Phương pháp giải

Từ các giả thiết đã cho, lập hệ 3 phương trình ba ẩn a, b, c. Giải hệ phương trình tìm a, b, c và tính tổng S.

Giải chi tiết

\(M\in \left( P \right)\Rightarrow 2a-b+c+1=0\)

Ta có

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;4; - 16} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AM} = \left( {a + 1;b - 3;c + 2} \right)\\
\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {16b + 4c - 40;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - 16a + 2c - 12;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} - 4a - 2b + 2} \right)\\
{{\vec n}_{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1;1} \right)\\
\Rightarrow 2\left( {16b + 4c - 40} \right) - \left( { - 16a + 2c - 12} \right) + \left( { - 4a - 2b + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 12a + 30b + 6c = 66 \Leftrightarrow 2a + 5b + c = 11\\
M{A^2} + M{B^2} = 246\\
\Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} + {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 7} \right)^2} + {\left( {c + 18} \right)^2} = 246\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 4a - 10b + 20c + 75 = 0
\end{array}\)

Khi đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & 2a-b+c=-1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & 2a+5b+c=11\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+4a-10b+20c+75=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \\ \end{align} \right.\) \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow b=2\Rightarrow 2a-2+c=-1\Leftrightarrow 2a+c=1\Leftrightarrow c=1-2a\)

Thay vào (3) ta có

\(\begin{array}{l}
{a^2} + 4 + {\left( {1 - 2a} \right)^2} + 4a - 10.2 + 20\left( {1 - 2a} \right) + 75 = 0\\
\Leftrightarrow 5{a^2} - 40a + 80 = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 8a + 16 = 0 \Leftrightarrow a = 4 \Rightarrow c = - 7
\end{array}\)

Vậy \(S=a+b+c=4+2-7=-1\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.