Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|\), gọi z1 và z2 lần lượt

Câu hỏi số 255264:

Vận dụng cao

Trong các số phức z thỏa mãn \(\left| {{z}^{2}}+1 \right|=2\left| z \right|\), gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Khi đó môđun lớn nhất của số phức \(w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\) là:

A. \(\left| \text{w} \right|=2\sqrt{2}\)

B. \(\left| \text{w} \right|=2\)

C. \(\left| \text{w} \right|=\sqrt{2}\)

D. \(\left| \text{w} \right|=1+\sqrt{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255264

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(z\overline{z}={{\left| z \right|}^{2}}\)

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}
\left| {{z^2} + 1} \right| = 2\left| z \right| \Leftrightarrow {\left| {{z^2} + 1} \right|^2} = 4{\left| z \right|^2} \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {\overline {{z^2} + 1} } \right) = 4z\overline z \\
\Leftrightarrow \left( {{z^2} + 1} \right)\left( {{{\overline z }^2} + 1} \right) = 4z\overline z \Leftrightarrow {\left( {z\overline z } \right)^2} + {z^2} + {\overline z ^2} + 1 - 4z\overline z = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left( {z\overline z } \right)^2} - 6z\overline z + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {z + \overline z } \right)^2} + {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {\left| z \right|^4} - 6{\left| z \right|^2} + 1 = - {\left( {z + \overline z } \right)^2} \le 0\\
\Leftrightarrow 3 - 2\sqrt 2 \le {\left| z \right|^2} \le 3 + 2\sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \sqrt 2 - 1 \le \left| z \right| \le \sqrt 2 + 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\
\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Dấu = xảy ra

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 2 - 1\\
\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 + 1\\
z + \overline z = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
{z_1} = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)i\\
{z_1} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)i
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
{z_2} = \left( {\sqrt 2 + 1} \right)i\\
{z_2} = \left( { - \sqrt 2 - 1} \right)i
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2\sqrt 2 \\
\left| w \right| = \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 2
\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.