Cho khai triển \({{\left( 1+2x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}},\,\,n\ge

Câu hỏi số 255265:

Vận dụng

Cho khai triển \({{\left( 1+2x \right)}^{n}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{n}}{{x}^{n}},\,\,n\ge 1\). Tìm số giá trị nguyên của n với \(n\le 2018\) sao cho tồn tại \(k\,\,\left( 0\le k\le n-1 \right)\) thỏa mãn \({{a}_{k}}={{a}_{k+1}}\).

A. 2018

B. 673

C. 672

D. 2017

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255265

Phương pháp giải

Sử dụng khai triển nhị thức Newton.

Giải chi tiết

Ta có \({{\left( 1+2x \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{k}}{{x}^{k}}}\,\,\left( k\in Z \right)\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{a}_{k}}=C_{n}^{k}{{2}^{k}};\,\,{{a}_{k+1}}=C_{n}^{k+1}{{2}^{k+1}} \\ & \Leftrightarrow C_{n}^{k}{{2}^{k}}=C_{n}^{k+1}{{2}^{k+1}}\Leftrightarrow \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}{{2}^{k}}=\frac{n!}{\left( k+1 \right)!\left( n-k-1 \right)!}{{2}^{k+1}} \\ & \Leftrightarrow \frac{1}{n-k}=\frac{2}{k+1} \\ & \Leftrightarrow k+1=2n-2k\Leftrightarrow n=\frac{3k+1}{2} \\ \end{align}\)

Ta có \(n\in \left[ 1;2018 \right]\Rightarrow k\in \left[ \frac{1}{3};1345 \right]\)

Do n là số nguyên nên 3k + 1 là số chẵn \(\Rightarrow k\) là số lẻ, thuộc đoạn \(\left[ \frac{1}{3};1345 \right]\Rightarrow \) có 673 số nguyên k thỏa mãn.

Với mỗi số nguyên k xác định 1 số nguyên n.

Vậy có 673 số nguyên n thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.