Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\ 1 \right]\) thỏa mãn

Câu hỏi số 255270:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 0;\ 1 \right]\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx=0}\) và \(\underset{\left[ 0;\ 1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=1.\) Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f\left( x \right)dx}\) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. \(\left( -\infty ;\ -\frac{5}{4} \right)\)

B. \(\left( \frac{3}{2};e-2 \right)\)

C. \(\left( -\frac{5}{4};\frac{3}{2} \right)\)

D. \(\left( e-1;+\infty \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255270

Giải chi tiết

Với mỗi số thực \(\alpha \in R\) ta có:

\(\begin{align} & \left| \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f\left( x \right)dx} \right|=\left| \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}f\left( x \right)dx-\int\limits_{0}^{1}{\alpha xf\left( x \right)dx}} \right| \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left| \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\left( {{e}^{x}}-\alpha x \right)dx} \right|\le \int\limits_{0}^{1}{\left| f\left( x \right) \right|.\left| {{e}^{x}}-\alpha x \right|dx} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \le \int\limits_{0}^{1}{\left| {{e}^{x}}-\alpha x \right|}dx. \\ \end{align}\) p\end{align}\)

Theo đề bài ta có: \(\underset{\left[ 0;\ 1 \right]}{\mathop{\max }}\,\left| f\left( x \right) \right|=1\Rightarrow f\left( x \right)\le 1\Rightarrow \alpha \le 1\Rightarrow \underset{\alpha \in \left[ 0;\ 1 \right]}{\mathop{\min }}\,\left( e-1-\frac{\alpha }{2} \right)=e-\frac{3}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.