Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)\) với

Câu hỏi số 255435:

Thông hiểu

Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Tính \(T=a+b.\)

A. \(T=7.\)

B. \(T=10.\)

C. \(T=6.\)

D. \(T=8.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255435

Phương pháp giải

Nhân liên hợp, bỏ mẫu số đưa về tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức cơ bản

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{\text{d}x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}}\,\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x+1}-\sqrt{x} \right)\,\text{d}x}=\left. \frac{2}{3}\left[ \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}-\sqrt{{{x}^{3}}} \right] \right|_{0}^{1}=\frac{4}{3}\left( \sqrt{2}-1 \right).\)

Mặt khác \(I=\frac{2}{3}\left( \sqrt{a}-b \right)=\frac{4}{3}\left( \sqrt{2}-1 \right)=\frac{2}{3}\left( \sqrt{8}-2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=8 \\ & b=2 \\ \end{align} \right..\)

Vậy \(T=a+b=8+2=10.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.