Cho biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

Câu hỏi số 255703:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) với \(x\ge 0;x\ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Cho biểu thức \(Q=\frac{(x+27)P}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)}\) với \(x\ge 0;x\ne 1;x\ne 4.\) Chứng minh: \(Q\ge 6.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255703

Phương pháp giải

+) Phân tích các mẫu số thành nhân tử, quy đồng mẫu các phân số, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Thay biểu thức P vừa rút gọn vào biểu thức Q.

+) Chứng minh \(Q\ge 6\) bằng cách biến đổi tương đương suy ra điều luôn đúng.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x\ge 0;\ \ x\ne 1.\)

\(\begin{align} P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \\ =\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-x+x\sqrt{x}+6-(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}{x+\sqrt{x}-2} \\ =\frac{x-\sqrt{x}-x+x\sqrt{x}+6-x-3\sqrt{x}-2}{x+\sqrt{x}-2}=\frac{x\sqrt{x}-x-4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2} \\ =\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}=\sqrt{x}-2 \\ \end{align}\)

b) Điều kiện: \(x\ge 0;\ x\ne 1;\ x\ne 4.\)

Rút gọn Q ta thu được như sau:

\(\begin{align} Q=\frac{(x+27)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{x+27}{\sqrt{x}+3}. \\ \Rightarrow Q\ge 6\Leftrightarrow x+27\ge 6\sqrt{x}+18\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9\ge 0\Leftrightarrow {{(\sqrt{x}-3)}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}\)

Điều này luôn đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link