Cho biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)

Câu hỏi số 255703:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) với \(x\ge 0;x\ne 1.\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Cho biểu thức \(Q=\frac{(x+27)P}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)}\) với \(x\ge 0;x\ne 1;x\ne 4.\) Chứng minh: \(Q\ge 6.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255703

Phương pháp giải

+) Phân tích các mẫu số thành nhân tử, quy đồng mẫu các phân số, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Thay biểu thức P vừa rút gọn vào biểu thức Q.

+) Chứng minh \(Q\ge 6\) bằng cách biến đổi tương đương suy ra điều luôn đúng.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x\ge 0;\ \ x\ne 1.\)

\(\begin{align} P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \\ =\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-x+x\sqrt{x}+6-(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}{x+\sqrt{x}-2} \\ =\frac{x-\sqrt{x}-x+x\sqrt{x}+6-x-3\sqrt{x}-2}{x+\sqrt{x}-2}=\frac{x\sqrt{x}-x-4\sqrt{x}+4}{x+\sqrt{x}-2} \\ =\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}=\sqrt{x}-2 \\ \end{align}\)

b) Điều kiện: \(x\ge 0;\ x\ne 1;\ x\ne 4.\)

Rút gọn Q ta thu được như sau:

\(\begin{align} Q=\frac{(x+27)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{x+27}{\sqrt{x}+3}. \\ \Rightarrow Q\ge 6\Leftrightarrow x+27\ge 6\sqrt{x}+18\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9\ge 0\Leftrightarrow {{(\sqrt{x}-3)}^{2}}\ge 0 \\ \end{align}\)

Điều này luôn đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link