1) Giải phương trình \(\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+1

Câu hỏi số 255607:

Vận dụng cao

1) Giải phương trình \(\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)=6{{x}^{2}}\)

2) Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn \(x+y+z+t=2\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức \(A=\frac{\left( x+y+z \right)\left( x+y \right)}{xyzt}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:255607

Giải chi tiết

1) Đặt \(y={{x}^{2}}+1\,\,\,\left( y>0 \right)\) khi đó phương trình trở thành

2) \(\begin{array}{l}\left( {y - x} \right)\left( {y + 4x} \right) = 6{x^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} + 3xy - 4{x^2} = 6{x^2}\\ \Leftrightarrow {y^2} + 3xy - 10{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x\\y = - 5x\end{array} \right.\end{array}\)

Với y = 2x thì \(2x={{x}^{2}}+1\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=2\)

Với y = - 5x thì \( - 5x = {x^2} + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5 + \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow y = \frac{{25 - 5\sqrt {21} }}{2}\left( {tm} \right)\\x = \frac{{ - 5 - \sqrt {21} }}{2} \Rightarrow y = \frac{{25 + 5\sqrt {21} }}{2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1;\frac{{ - 5 + \sqrt {21} }}{2};\frac{{ - 5 - \sqrt {21} }}{2}} \right\}\)

3) Với x, y, z, t > 0, theo bất đẳng thức Cô si ta có:

4) \(x + y \ge 2\sqrt {xy} ,\left( {x + y} \right) + z \ge 2\sqrt {\left( {x + y} \right)z} ,\left( {x + y + z} \right) + t \ge 2\sqrt {\left( {x + y + z} \right)t} \)

Khi đó \(\left( x+y \right)\left( x+y+z \right)\left( x+y+z+t \right)\ge 8\sqrt{xyzt\left( x+y \right)\left( x+y+z \right)}\)

Mà \(x+y+z+t=2\) nên

\(\begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right) \ge 4\sqrt {xyzt\left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right)} \\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right)} \ge 4\sqrt {xyzt} \\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y + z} \right) \ge 16xyzt\end{array}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left( x+y+z \right)\left( x+y \right)}{xyzt}\ge 16\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\x + y = z\\x + y + z = t\\x + y + z + t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y = \frac{1}{4}\\z = \frac{1}{2}\\t = 1\end{array} \right.\)

Vậy \({{A}_{\min }}=16\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link