Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng b. Biết góc

Câu hỏi số 256244:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng b. Biết góc giữa hai đường chéo AC’ và A’B bằng 60⁰, tính b theo a.

\(b=2a\)

\(b=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)

\(b=\sqrt{2}a\)

D. \(b=\frac{1}{2}a\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:256244

Phương pháp giải

+) Dựng đường thẳng d song song với AC’ \(\Rightarrow \widehat{\left( AC';A'B \right)}=\widehat{\left( d;A'B \right)}\).

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác.

Giải chi tiết

Gọi D’ là đỉnh thứ tư của hình thoi A’B’D’C’ ta có \(\left\{ \begin{align} C'D'//A'B'//AB \\ C'D'=A'B'=AB \\ \end{align} \right.\Rightarrow ABD'C’\) là hình bình hành \(\Rightarrow AC'//BD'\Rightarrow \widehat{\left( AC';A'B \right)}=\widehat{\left( BD';A'B \right)}\Rightarrow \left[ \begin{align} \widehat{A'BD'}={{60}^{0}} \\ \widehat{A'BD'}={{120}^{0}} \\ \end{align} \right.\).

Gọi O là tâm hình thoi \(A’B’D’C’\) \(\Rightarrow A'O=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A'D'=a\sqrt{3}\); \(A'B=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=BD’\) .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác A’BD’ có: \(\cos \widehat{A'BD'}=\frac{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-3{{a}^{2}}}{2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}=\frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}\)

TH1: \(\widehat{A'BD'}={{60}^{0}}\Leftrightarrow \frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow -2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow b=a\sqrt{2}\)

TH2: \(\widehat{A'BD'}={{120}^{0}}\Leftrightarrow \frac{-{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}=\frac{-1}{2}\Leftrightarrow -2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}=-2{{a}^{2}}-2{{b}^{2}}\Leftrightarrow b=0\,\,\left( ktm \right)\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.