Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích \({{S}_{1}}\). Nối 4 trung điểm

Câu hỏi số 257265:

Vận dụng

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích \({{S}_{1}}\). Nối 4 trung điểm \({{A}_{1}},\,{{B}_{1}},\,{{C}_{1}},\,{{D}_{1}}\) theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích \({{S}_{2}}\). Tiếp tục làm như thế ta được hình vuông thứ ba\({{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}{{D}_{2}}\) có diện tích \({{S}_{3}}\)…. Và cứ tiếp tục làm như thế ta được các hình vuông có diện tích \({{S}_{4}},\,{{S}_{5}},\,...,{{S}_{100}}\)(tham khảo hình vẽ bên). Tính tổng \(S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+...+{{S}_{100}}\).

\(S=\frac{{{a}^{2}}({{2}^{100}}-1)}{{{2}^{100}}}\).

\(S=\frac{{{a}^{2}}({{2}^{100}}-1)}{{{2}^{99}}}\).

\(S=\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{100}}}\).

D. \(S=\frac{{{a}^{2}}({{2}^{99}}-1)}{{{2}^{98}}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:257265

Phương pháp giải

Nếu \(({{u}_{n}})\)là một cấp số nhân với công bội \(q\ne 1\) thì \({{S}_{n}}\) được tính theo công thức: \({{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}(1-{{q}^{n}})}{1-q}\).

Giải chi tiết

Hình vuông ABCD cạnh a \(\Rightarrow {{S}_{1}}={{a}^{2}}\)

Hình vuông \({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\,{{D}_{1}}\) có cạnh bằng \(\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{S}_{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\)

Hình vuông \({{A}_{2}}{{B}_{2}}{{C}_{2}}\,{{D}_{2}}\) có cạnh bằng \(\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}=\frac{a}{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}}\Rightarrow {{S}_{3}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{2}}}\)

…

Hình vuông \({{A}_{99}}{{B}_{99}}{{C}_{99}}{{D}_{99}}\) có cạnh bằng \(\frac{a}{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{99}}}\Rightarrow {{S}_{100}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{99}}}\)

\(S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+...+{{S}_{100}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{0}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{1}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{2}}}+...+\frac{{{a}^{2}}}{{{2}^{99}}}\,=\frac{{{a}^{2}}.\left( 1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{100}} \right)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{{{a}^{2}}\left( {{2}^{100}}-1 \right)}{{{2}^{100}}}.2=\frac{{{a}^{2}}\left( {{2}^{100}}-1 \right)}{{{2}^{99}}}\)

Chọn: B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.